定数 $a$ が与えられたとき、3次方程式 $x^3 + x^2 - x + a = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

1. 問題の内容

定数 $a$ が与えられたとき、3次方程式 $x^3 + x^2 - x + a = 0$ の異なる実数解の個数を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、関数 $f(x) = x^3 + x^2 - x$ を定義します。元の式は $f(x) = -a$ と書き換えられます。次に、$f(x)$ のグラフを描き、直線 $y = -a$ との交点の数を数えることで、実数解の個数を調べます。

1. $f(x)$ の導関数を計算します。

$f'(x) = 3x^2 + 2x - 1$

2. $f'(x) = 0$ となる $x$ を求めます。

$3x^2 + 2x - 1 = 0$

$(3x - 1)(x + 1) = 0$

$x = -1, \frac{1}{3}$

3. 増減表を作成し、$f(x)$ の極値を求めます。

$x = -1$ のとき、$f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 - (-1) = -1 + 1 + 1 = 1$

$x = \frac{1}{3}$ のとき、$f(\frac{1}{3}) = (\frac{1}{3})^3 + (\frac{1}{3})^2 - \frac{1}{3} = \frac{1}{27} + \frac{1}{9} - \frac{1}{3} = \frac{1 + 3 - 9}{27} = -\frac{5}{27}$

したがって、$f(x)$ は $x = -1$ で極大値 $1$ をとり、$x = \frac{1}{3}$ で極小値 $-\frac{5}{27}$ をとります。

4. $y = f(x)$ のグラフと $y = -a$ の交点の数を調べます。

- $y = -a$ が極大値より大きい場合 ($1 < -a$)、つまり $a < -1$ のとき、実数解は1個です。

- $y = -a$ が極大値に等しい場合 ($1 = -a$)、つまり $a = -1$ のとき、実数解は2個です。

- $y = -a$ が極大値と極小値の間にある場合 ($-\frac{5}{27} < -a < 1$)、つまり $-1 < a < \frac{5}{27}$ のとき、実数解は3個です。

- $y = -a$ が極小値に等しい場合 ($-\frac{5}{27} = -a$)、つまり $a = \frac{5}{27}$ のとき、実数解は2個です。

- $y = -a$ が極小値より小さい場合 ($-a < -\frac{5}{27}$)、つまり $a > \frac{5}{27}$ のとき、実数解は1個です。

3. 最終的な答え

- $a < -1$ のとき、実数解は1個

- $a = -1$ のとき、実数解は2個

- $-1 < a < \frac{5}{27}$ のとき、実数解は3個

- $a = \frac{5}{27}$ のとき、実数解は2個

- $a > \frac{5}{27}$ のとき、実数解は1個