曲線 $y = x^3 - 2x$ が与えられている。 (1) 曲線上の点 $(-1, 1)$ における接線の方程式を求める。 (2) 曲線への接線で、点 $(1, -1)$ を通るものの方程式を求める。

1. 問題の内容

曲線 $y = x^3 - 2x$ が与えられている。

(1) 曲線上の点 $(-1, 1)$ における接線の方程式を求める。

(2) 曲線への接線で、点 $(1, -1)$ を通るものの方程式を求める。

2. 解き方の手順

(1) 点 $(-1, 1)$ における接線の方程式を求める。

まず、与えられた曲線 $y = x^3 - 2x$ を微分して、導関数を求める。

$y' = 3x^2 - 2$

点 $(-1, 1)$ における接線の傾きは、$x = -1$ を代入して、

$y'(-1) = 3(-1)^2 - 2 = 3 - 2 = 1$

したがって、点 $(-1, 1)$ における接線の方程式は、

$y - 1 = 1(x - (-1))$

$y - 1 = x + 1$

$y = x + 2$

(2) 点 $(1, -1)$ を通る接線の方程式を求める。

接点の座標を $(t, t^3 - 2t)$ とおく。

接点における接線の傾きは、$y' = 3x^2 - 2$ より、$3t^2 - 2$ である。

したがって、接線の方程式は、

$y - (t^3 - 2t) = (3t^2 - 2)(x - t)$

この接線が点 $(1, -1)$ を通るので、

$-1 - (t^3 - 2t) = (3t^2 - 2)(1 - t)$

$-1 - t^3 + 2t = 3t^2 - 2 - 3t^3 + 2t$

$2t^3 - 3t^2 = -1$

$2t^3 - 3t^2 + 1 = 0$

$(t - 1)(2t^2 - t - 1) = 0$

$(t - 1)(t - 1)(2t + 1) = 0$

$(t - 1)^2(2t + 1) = 0$

$t = 1, -\frac{1}{2}$

$t = 1$ のとき、接点の座標は $(1, -1)$、傾きは $3(1)^2 - 2 = 1$

接線の方程式は $y - (-1) = 1(x - 1)$ なので、$y = x - 2$

$t = -\frac{1}{2}$ のとき、接点の座標は $(-\frac{1}{2}, \frac{7}{8})$、傾きは $3(-\frac{1}{2})^2 - 2 = \frac{3}{4} - 2 = -\frac{5}{4}$

接線の方程式は $y - \frac{7}{8} = -\frac{5}{4}(x - (-\frac{1}{2}))$

$y - \frac{7}{8} = -\frac{5}{4}x - \frac{5}{8}$

$y = -\frac{5}{4}x + \frac{2}{8}$

$y = -\frac{5}{4}x + \frac{1}{4}$

3. 最終的な答え

(1) $y = x + 2$

(2) $y = x - 2$, $y = -\frac{5}{4}x + \frac{1}{4}$