関数 $f(x)$ が与えられており、$x \leq 2$ のとき $f(x) = x^2 - 4x + 5$、$x \geq 2$ のとき $f(x) = 2x - 3$ である。0以上の実数 $a$ に対して、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸、および2直線 $x=a$, $x=a+2$ で囲まれた図形の面積を $S(a)$ とする。 (1) $S(0), S(4), S(1)$ を求める。 (2) $S(a)$ の値を $a$ を用いて表す。 - $0 < a < 2$ のとき - $a \geq 2$ のとき $S(a) = S(0)$ を満たす正の数 $a$ の値を求める。

1. 問題の内容

関数 $f(x)$ が与えられており、$x \leq 2$ のとき $f(x) = x^2 - 4x + 5$、$x \geq 2$ のとき $f(x) = 2x - 3$ である。0以上の実数 $a$ に対して、$y = f(x)$ のグラフと $x$ 軸、および2直線 $x=a$, $x=a+2$ で囲まれた図形の面積を $S(a)$ とする。

(1) $S(0), S(4), S(1)$ を求める。

(2) $S(a)$ の値を $a$ を用いて表す。

- $0 < a < 2$ のとき

- $a \geq 2$ のとき

$S(a) = S(0)$ を満たす正の数 $a$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $S(0)$: $0 \leq x \leq 2$ なので、$f(x) = x^2 - 4x + 5$ を用いる。$a=0$, $a+2 = 2$ なので、

$S(0) = \int_{0}^{2} (x^2 - 4x + 5) dx = [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x]_{0}^{2} = \frac{8}{3} - 8 + 10 = \frac{8}{3} + 2 = \frac{14}{3}$

$S(0) = \frac{14}{3}$

$S(4)$: $x \geq 2$ なので、$f(x) = 2x - 3$ を用いる。$a=4$, $a+2 = 6$ なので、

$S(4) = \int_{4}^{6} (2x - 3) dx = [x^2 - 3x]_{4}^{6} = (36 - 18) - (16 - 12) = 18 - 4 = 14$

$S(4) = 14$

$S(1)$: $0 \leq x \leq 2$ なので、$f(x) = x^2 - 4x + 5$ を用いる。$a=1$, $a+2 = 3$。$x=2$ で関数が変わるので積分を分割する。

$S(1) = \int_{1}^{2} (x^2 - 4x + 5) dx + \int_{2}^{3} (2x - 3) dx$

$= [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x]_{1}^{2} + [x^2 - 3x]_{2}^{3}$

$= (\frac{8}{3} - 8 + 10) - (\frac{1}{3} - 2 + 5) + (9 - 9) - (4 - 6)$

$= \frac{14}{3} - \frac{10}{3} + 2 = \frac{4}{3} + 2 = \frac{10}{3}$

$S(1) = \frac{10}{3}$

(2) $0 < a < 2$ のとき、$f(x) = x^2 - 4x + 5$ を用いる。

$S(a) = \int_{a}^{a+2} (x^2 - 4x + 5) dx = [\frac{1}{3}x^3 - 2x^2 + 5x]_{a}^{a+2}$

$= (\frac{1}{3}(a+2)^3 - 2(a+2)^2 + 5(a+2)) - (\frac{1}{3}a^3 - 2a^2 + 5a)$

$= \frac{1}{3}(a^3 + 6a^2 + 12a + 8) - 2(a^2 + 4a + 4) + 5(a+2) - \frac{1}{3}a^3 + 2a^2 - 5a$

$= \frac{1}{3}a^3 + 2a^2 + 4a + \frac{8}{3} - 2a^2 - 8a - 8 + 5a + 10 - \frac{1}{3}a^3 + 2a^2 - 5a$

$= 2a^2 - 4a + \frac{14}{3}$

$S(a) = 2a^2 - 4a + \frac{14}{3}$

$a \geq 2$ のとき、$f(x) = 2x - 3$ を用いる。

$S(a) = \int_{a}^{a+2} (2x - 3) dx = [x^2 - 3x]_{a}^{a+2} = ((a+2)^2 - 3(a+2)) - (a^2 - 3a)$

$= (a^2 + 4a + 4 - 3a - 6) - (a^2 - 3a) = a^2 + a - 2 - a^2 + 3a = 4a - 2$

$S(a) = 4a - 2$

$S(a) = S(0) = \frac{14}{3}$ を満たす正の数 $a$ の値を求める。

$0 < a < 2$ のとき、$2a^2 - 4a + \frac{14}{3} = \frac{14}{3}$

$2a^2 - 4a = 0$

$2a(a-2) = 0$

$a = 0, 2$

これは $0 < a < 2$ の範囲外なので不適。

$a \geq 2$ のとき、$4a - 2 = \frac{14}{3}$

$4a = \frac{14}{3} + 2 = \frac{20}{3}$

$a = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$

しかし、$a \geq 2$ の範囲外なので不適。

$0 < a < 2$ かつ $a \geq 2$ になるのは、$a=2$ の時を考える.

$f(2) = 2^2 -4(2) + 5 = 1$ と $f(2) = 2(2) - 3 = 1$.　一致するのでOK.

$S(2) = 4(2) - 2 = 6$

$2a^2-4a + \frac{14}{3} = \frac{14}{3}$ を満たすのは $a=0, 2$ である。

$a = 2$ より $4a - 2 = \frac{14}{3}$ を満たすのは、$a = \frac{5}{3}$.

$a>0$なので、$S(a) = S(0) = \frac{14}{3}$.

$a=\frac{5}{3}$は範囲外,　$a=0, a=2$も範囲外.

$2a^2 -4a +\frac{14}{3} = 4a-2$　とすると

$2a^2 -8a + \frac{20}{3} = 0$

$6a^2 -24a +20 = 0$

$3a^2 -12a +10=0$

$a= \frac{12 \pm \sqrt{144 - 120}}{6} = \frac{12 \pm \sqrt{24}}{6} = \frac{12 \pm 2\sqrt{6}}{6} = \frac{6 \pm \sqrt{6}}{3}$

$a = \frac{6 - \sqrt{6}}{3}$　は　$0 < a < 2$

$a = \frac{6 + \sqrt{6}}{3}$ は　$a > 2$

$a = \frac{6-\sqrt{6}}{3}, a = \frac{6+\sqrt{6}}{3}$

S(a) =S(0) =14/3

$2a^2 -4a +\frac{14}{3} = \frac{14}{3}$

$a=0$ or $a=2$, which isn't in the domain $0<a<2$

$4a-2 = \frac{14}{3}$

$a = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$ is in the domain.

3. 最終的な答え

S(0) = 14/3

S(4) = 14

S(1) = 10/3

0<a<2 S(a) = 2a^2 - 4a + 14/3

a >= 2 S(a) = 4a-2

a = 5/3