座標平面上に2点A(2, 1), B(4, 3)がある。点Aを頂点とし、点Bを通る放物線をC₁とする。放物線C₁の方程式と点Bにおける接線を求める。次に放物線 $y = 2x^2 + 10x + k$ をC₂とし、C₂がC₁の接線と接するときのkの値を求め、C₂とx軸で囲まれた面積S₁を求める。最後に、C₁とC₂の交点のx座標、C₁とC₂で囲まれた面積S₂、C₁とC₂の下側にあり、C₁、C₂、および直線 $l$ で囲まれた面積S₃を求める。

はい、承知しました。数学の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

座標平面上に2点A(2, 1), B(4, 3)がある。点Aを頂点とし、点Bを通る放物線をC₁とする。放物線C₁の方程式と点Bにおける接線を求める。次に放物線 $y = 2x^2 + 10x + k$ をC₂とし、C₂がC₁の接線と接するときのkの値を求め、C₂とx軸で囲まれた面積S₁を求める。最後に、C₁とC₂の交点のx座標、C₁とC₂で囲まれた面積S₂、C₁とC₂の下側にあり、C₁、C₂、および直線 $l$ で囲まれた面積S₃を求める。

2. 解き方の手順

(1)

放物線C₁は、頂点がA(2, 1)なので、 $y = a(x-2)^2 + 1$ と表せる。

これが点B(4, 3)を通るので、

$3 = a(4-2)^2 + 1$

$3 = 4a + 1$

$4a = 2$

$a = \frac{1}{2}$

よって、放物線C₁の方程式は、

$y = \frac{1}{2}(x-2)^2 + 1 = \frac{1}{2}(x^2 - 4x + 4) + 1 = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 2 + 1 = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$

したがって、

$y = \frac{1}{2}x^2 - 2x + 3$

点Bにおける接線を求める。

$y' = x - 2$

点B(4, 3)における傾きは、 $y'(4) = 4 - 2 = 2$

接線の方程式は、 $y - 3 = 2(x - 4)$

$y = 2x - 8 + 3$

$y = 2x - 5$

(2)

放物線 $y = 2x^2 + 10x + k$ が直線 $y = 2x - 5$ と接するとき、

$2x^2 + 10x + k = 2x - 5$

$2x^2 + 8x + k + 5 = 0$

判別式 $D = 0$ を満たすので、

$D = 8^2 - 4(2)(k+5) = 64 - 8(k+5) = 64 - 8k - 40 = 24 - 8k = 0$

$8k = 24$

$k = 3$

よって、$y = 2x^2 + 10x + 3$

$S_1$は、C₂とx軸で囲まれた面積である。まず、C₂とx軸との交点を求める。

$2x^2 + 10x + 3 = 0$

$x = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 4(2)(3)}}{4} = \frac{-10 \pm \sqrt{100 - 24}}{4} = \frac{-10 \pm \sqrt{76}}{4} = \frac{-10 \pm 2\sqrt{19}}{4} = \frac{-5 \pm \sqrt{19}}{2}$

$S_1 = \left| \int_{\frac{-5-\sqrt{19}}{2}}^{\frac{-5+\sqrt{19}}{2}} (2x^2+10x+3) dx \right| = \left| \left[ \frac{2}{3}x^3 + 5x^2 + 3x \right]_{\frac{-5-\sqrt{19}}{2}}^{\frac{-5+\sqrt{19}}{2}} \right|$

面倒なので、C₂の頂点を求め、$y = 2(x + \frac{5}{2})^2 + 3 - 2(\frac{25}{4}) = 2(x+\frac{5}{2})^2 + 3 - \frac{25}{2} = 2(x+\frac{5}{2})^2 - \frac{19}{2}$

$2x^2+10x+3 = 2(x^2+5x)+3 = 2(x^2+5x+\frac{25}{4}) - \frac{25}{2}+3= 2(x+\frac{5}{2})^2 - \frac{19}{2}$

$x = \frac{-5+\sqrt{19}}{2}, x = \frac{-5-\sqrt{19}}{2}$のとき、$y = 0$

$S_1 = - \int_{\frac{-5-\sqrt{19}}{2}}^{\frac{-5+\sqrt{19}}{2}} (2x^2 + 10x + 3) dx = -2 \int_{\frac{-5-\sqrt{19}}{2}}^{\frac{-5+\sqrt{19}}{2}} (x-\frac{-5+\sqrt{19}}{2})(x-\frac{-5-\sqrt{19}}{2})dx = \frac{1}{6}\left( \sqrt{(5+\sqrt{19}) - (5-\sqrt{19})}\right)^3 = \frac{(2 \sqrt{19})^3}{12}= \frac{1}{12}(8*19\sqrt{19}) = \frac{38\sqrt{19}}{3}$

なので、$S_1 = \frac{38\sqrt{19}}{3}$

C₁とC₂の交点のx座標を求める。

$\frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 = 2x^2 + 10x + 3$

$0 = \frac{3}{2}x^2 + 12x$

$0 = x(\frac{3}{2}x + 12)$

$x = 0, x = -8$

したがって、 $x = 0, -8$

S₂は、C₁とC₂で囲まれた図形の面積である。

$S_2 = \left| \int_{-8}^{0} (\frac{1}{2}x^2 - 2x + 3 - (2x^2 + 10x + 3)) dx \right| = \left| \int_{-8}^{0} (-\frac{3}{2}x^2 - 12x) dx \right| = \left| [-\frac{1}{2}x^3 - 6x^2]_{-8}^{0} \right| = \left| 0 - (-\frac{1}{2}(-8)^3 - 6(-8)^2) \right| = \left| 0 - (\frac{512}{2} - 6(64)) \right| = \left| 0 - (256 - 384) \right| = \left| 0 - (-128) \right| = 128$

S₃は、C₁とC₂の下側にあり、直線$y=2x-5$で囲まれた図形の面積である。

$S_3 = S_2 = \int_{x_1}^{x_2}(2x-5 -(\frac{1}{2}x^2 - 2x + 3)dx + \int_{x_2}^{x_3}(2x-5 -(2x^2 + 10x + 3))dx =$

3. 最終的な答え

ア: 1/2

イ: -2

ウ: 3

エ: -5

オ: 2

カ: 3

キ: 3

クケコサ: 38√19/3

シスセ: 0, -8

タチツ: 128

テト: