(1) 関数 $f(x) = 3 \cdot 4^x - 2^{x+3}$ （$0 \le x \le 1$）の最大値と最小値を求めよ。 (2) $x + 2y = 8$ のとき、$\log_2 x + \log_2 y$ の最大値を求めよ。 (3) 関数 $f(x) = (\log_3 9x)(\log_3 \frac{3}{x})$ （$\frac{1}{9} \le x \le 9$）の最大値と最小値を求めよ。

1. 問題の内容

(1) 関数 $f(x) = 3 \cdot 4^x - 2^{x+3}$ （$0 \le x \le 1$）の最大値と最小値を求めよ。

(2) $x + 2y = 8$ のとき、$\log_2 x + \log_2 y$ の最大値を求めよ。

(3) 関数 $f(x) = (\log_3 9x)(\log_3 \frac{3}{x})$ （$\frac{1}{9} \le x \le 9$）の最大値と最小値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) $f(x) = 3 \cdot 4^x - 2^{x+3} = 3 \cdot (2^x)^2 - 8 \cdot 2^x$

$t = 2^x$ とおくと、$0 \le x \le 1$ より $2^0 \le 2^x \le 2^1$ なので $1 \le t \le 2$

$f(x) = 3t^2 - 8t = 3(t^2 - \frac{8}{3}t) = 3(t - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{3}$

$g(t) = 3(t-\frac{4}{3})^2 - \frac{16}{3}$ とすると $1 \le t \le 2$ における $g(t)$ の最大値と最小値を求める。

軸 $t = \frac{4}{3}$ は区間 $1 \le t \le 2$ 内にある。

$g(\frac{4}{3}) = -\frac{16}{3}$

$g(1) = 3 - 8 = -5$

$g(2) = 3 \cdot 4 - 8 \cdot 2 = 12 - 16 = -4$

最小値：$x=\log_2(\frac{4}{3})$ のとき $-\frac{16}{3}$

最大値：$x=1$のとき $-4$

(2) $x + 2y = 8$ より $2y = 8-x$。 $y = 4 - \frac{x}{2}$

$x>0$ かつ $y > 0$ なので $x > 0$ かつ $4 - \frac{x}{2} > 0$ つまり $0 < x < 8$

$f(x) = \log_2 x + \log_2 y = \log_2 x + \log_2 (4 - \frac{x}{2}) = \log_2 (x(4-\frac{x}{2})) = \log_2 (-\frac{1}{2}x^2 + 4x) = \log_2 (-\frac{1}{2}(x-4)^2 + 8)$

$0 < x < 8$ において、$x=4$ のとき $-\frac{1}{2}(x-4)^2+8$ は最大値 8 を取る。

したがって、最大値は $\log_2 8 = 3$

$x=4$ のとき $2y = 8 - 4 = 4$ より $y = 2$

(3) $f(x) = (\log_3 9x)(\log_3 \frac{3}{x})$

$\log_3 9x = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + \log_3 x$

$\log_3 \frac{3}{x} = \log_3 3 - \log_3 x = 1 - \log_3 x$

$t = \log_3 x$ とおくと $\frac{1}{9} \le x \le 9$ より $\log_3 \frac{1}{9} \le \log_3 x \le \log_3 9$ なので $-2 \le t \le 2$

$f(x) = (2+t)(1-t) = 2 - 2t + t - t^2 = -t^2 - t + 2 = -(t^2 + t) + 2 = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{1}{4} + 2 = -(t+\frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

$g(t) = -(t + \frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$ は $-2 \le t \le 2$ において

$t = -\frac{1}{2}$ のとき最大値 $\frac{9}{4}$

$t = 2$ のとき最小値 $-(2+\frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4} = -\frac{25}{4} + \frac{9}{4} = -\frac{16}{4} = -4$

最大値：$x = 3^{-\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ のとき $\frac{9}{4}$

最小値：$x = 9$ のとき $-4$

3. 最終的な答え

(1) 最大値：$-4$, 最小値：$-\frac{16}{3}$

(2) 最大値：$3$

(3) 最大値：$\frac{9}{4}$, 最小値：$-4$