与えられた関数 $\log|y| = \frac{1}{3} \{4\log|x+2| - 2\log|x| - \log(x^2+1)\}$ について、$y'$を求める問題です。画像には、この問題の解法が示されています。

1. 問題の内容

与えられた関数 $\log|y| = \frac{1}{3} \{4\log|x+2| - 2\log|x| - \log(x^2+1)\}$ について、$y'$を求める問題です。画像には、この問題の解法が示されています。

2. 解き方の手順

まず、与えられた式$\log|y| = \frac{1}{3} \{4\log|x+2| - 2\log|x| - \log(x^2+1)\}$の両辺を$x$で微分します。

$\frac{y'}{y} = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{x+2} - \frac{2}{x} - \frac{2x}{x^2+1} \right)$

次に、$y'$を求めます。

$y' = \frac{1}{3} \left( \frac{4}{x+2} - \frac{2}{x} - \frac{2x}{x^2+1} \right)y$

$\frac{4}{x+2} - \frac{2}{x} - \frac{2x}{x^2+1}$を通分して計算します。

$\frac{4x(x^2+1) - 2(x+2)(x^2+1) - 2x^2(x+2)}{(x+2)x(x^2+1)} = \frac{4x^3+4x - 2(x^3+2x^2+x+2) - 2x^3 - 4x^2}{(x+2)x(x^2+1)} = \frac{4x^3+4x - 2x^3 - 4x^2 - 2x - 4 - 2x^3 - 4x^2}{(x+2)x(x^2+1)} = \frac{-8x^2+2x-4}{(x+2)x(x^2+1)} = \frac{-2(4x^2-x+2)}{x(x+2)(x^2+1)}$

したがって、$y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{-2(4x^2-x+2)}{x(x+2)(x^2+1)} \cdot y$

ここで、$y = \sqrt[3]{\frac{(x+2)^4}{x^2(x^2+1)}}$なので、これを代入します。

$y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{-2(4x^2-x+2)}{x(x+2)(x^2+1)} \cdot \sqrt[3]{\frac{(x+2)^4}{x^2(x^2+1)}} = -\frac{2(4x^2-x+2)}{3x(x+2)(x^2+1)} \cdot \sqrt[3]{\frac{(x+2)^4}{x^2(x^2+1)}}$

$y' = -\frac{2(4x^2-x+2)}{3x(x^2+1)}\sqrt[3]{\frac{(x+2)}{x^2(x^2+1)}}$

3. 最終的な答え

$y' = -\frac{2(4x^2-x+2)}{3x(x^2+1)} \sqrt[3]{\frac{x+2}{x^2(x^2+1)}}$