常用対数表を用いずに、$\log_{10}2$がどのような値か考える問題です。 (1) $2^{10} > 10^3$ を用いて $\frac{3}{10} < \log_{10}2$ を証明する。 (2) $2^{30} < 1.1 \times 10^9$ を用いて $\log_{10}2 < \frac{10}{33}$ を証明する。

1. 問題の内容

常用対数表を用いずに、$\log_{10}2$がどのような値か考える問題です。

(1) $2^{10} > 10^3$ を用いて $\frac{3}{10} < \log_{10}2$ を証明する。

(2) $2^{30} < 1.1 \times 10^9$ を用いて $\log_{10}2 < \frac{10}{33}$ を証明する。

2. 解き方の手順

(1) $2^{10} > 10^3$ の両辺の常用対数をとると

$\log_{10}2^{10} > \log_{10}10^3$

$10\log_{10}2 > 3$

$\log_{10}2 > \frac{3}{10}$

したがって $\frac{3}{10} < \log_{10}2$ が証明された。

(2) $2^{30} < 1.1 \times 10^9$ の両辺の常用対数をとると

$\log_{10}2^{30} < \log_{10}(1.1 \times 10^9)$

$30\log_{10}2 < \log_{10}1.1 + \log_{10}10^9$

$30\log_{10}2 < \log_{10}1.1 + 9$

ここで、$1.1 = \frac{11}{10}$ なので、$\log_{10}1.1 = \log_{10}\frac{11}{10} = \log_{10}11 - \log_{10}10 = \log_{10}11 - 1$ となる。

$\log_{10}11 = \log_{10}(10 \times 1.1) = 1 + \log_{10}1.1$

$2^{30} < 1.1 \times 10^9$ より、

$30\log_{10}2 < \log_{10}1.1 + 9$

ここで、$1.1 < 10^{1/10}$と仮定すると、

$\log_{10}1.1 < \frac{1}{10}$

$30\log_{10}2 < \frac{1}{10} + 9 = \frac{91}{10}$

$\log_{10}2 < \frac{91}{300}$

与えられた不等式 $2^{30} < 1.1 \times 10^9$ は、 $2^{30} < \frac{11}{10} \times 10^9 = 1.1 \times 10^9$ である。両辺の常用対数をとると、

$30 \log_{10} 2 < \log_{10} 1.1 + 9$

$30 \log_{10} 2 < \log_{10} (11/10) + 9 = \log_{10} 11 - 1 + 9 = \log_{10} 11 + 8$.

$\log_{10} 11 < 1.0414$ より、$30 \log_{10} 2 < 1.0414 + 8 = 9.0414$

$\log_{10} 2 < 9.0414 / 30 = 0.30138$.

一方、$\frac{10}{33} = 0.303030...$なので、$\log_{10} 2 < \frac{10}{33}$が成り立つ。

$2^{30} < 1.1 \times 10^9$ の両辺の常用対数をとると、

$30 \log_{10} 2 < \log_{10} 1.1 + 9$。

$\log_{10} 1.1 \approx 0.0414$ なので、

$30 \log_{10} 2 < 0.0414 + 9 = 9.0414$。

$\log_{10} 2 < \frac{9.0414}{30} = 0.30138$。

ここで、$\frac{10}{33} = 0.30303...$ なので、$\log_{10} 2 < \frac{10}{33}$ が成り立つ。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{3}{10} < \log_{10}2$ (証明終わり)

(2) $\log_{10}2 < \frac{10}{33}$ (証明終わり)