関数 $y = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ の極値を求め、グラフを描く。

1. 問題の内容

関数 $y = 3x^4 - 4x^3 - 12x^2$ の極値を求め、グラフを描く。

2. 解き方の手順

(1) まず、与えられた関数を微分して、導関数 $y'$ を求めます。

$y' = 12x^3 - 12x^2 - 24x$

(2) 次に、$y' = 0$ となる $x$ の値を求めます。

$12x^3 - 12x^2 - 24x = 0$

$12x(x^2 - x - 2) = 0$

$12x(x - 2)(x + 1) = 0$

したがって、$x = -1, 0, 2$ となります。

(3) 求めた $x$ の値を用いて、増減表を作成します。

| x | ... | -1 | ... | 0 | ... | 2 | ... |

| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |

| y' | - | 0 | + | 0 | - | 0 | + |

| y | ↘ | | ↗ | | ↘ | | ↗ |

(4) 各 $x$ の値における $y$ の値を求めます。

$x = -1$ のとき、$y = 3(-1)^4 - 4(-1)^3 - 12(-1)^2 = 3 + 4 - 12 = -5$

$x = 0$ のとき、$y = 3(0)^4 - 4(0)^3 - 12(0)^2 = 0$

$x = 2$ のとき、$y = 3(2)^4 - 4(2)^3 - 12(2)^2 = 48 - 32 - 48 = -32$

(5) 増減表より、極値を求めます。

$x = -1$ で極小値 $-5$

$x = 0$ で極大値 $0$

$x = 2$ で極小値 $-32$

(6) グラフを描くには、極値（(-1, -5), (0, 0), (2, -32)）を通る4次関数を描画します。

3. 最終的な答え

極大値：$x=0$ のとき $0$

極小値：$x=-1$ のとき $-5$、$x=2$ のとき $-32$