## 1. 問題の内容

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1. 問題の内容

以下の3つの問題について答えます。

(1) 関数 $f(x) = 3 \cdot 4^x - 2^{x+3}$ (ただし $0 \le x \le 1$) の最大値と最小値を求めよ。

(2) $x + 2y = 8$ のとき、$\log_2 x + \log_2 y$ の最大値を求めよ。

(3) 関数 $f(x) = (\log_3 9x)(\log_3 \frac{3}{x})$ (ただし $9^{-1} \le x \le 9$) の最大値と最小値を求めよ。

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2. 解き方の手順

**(1)**

1. $t = 2^x$ とおく。$0 \le x \le 1$ より $2^0 \le 2^x \le 2^1$ なので $1 \le t \le 2$ である。

2. $4^x = (2^x)^2 = t^2$ より、関数は $f(x) = 3t^2 - 8t$ となる。

3. $f(t) = 3t^2 - 8t$ を平方完成すると $f(t) = 3(t - \frac{4}{3})^2 - \frac{16}{3}$ となる。

4. $1 \le t \le 2$ の範囲で、$f(t)$ の最大値と最小値を求める。軸は $t=\frac{4}{3}$ なので、この範囲に含まれる。

5. $f(1) = 3(1)^2 - 8(1) = -5$

6. $f(\frac{4}{3}) = -\frac{16}{3}$

7. $f(2) = 3(2)^2 - 8(2) = 12 - 16 = -4$

8. したがって、最大値は $-4$ (x=1のとき) であり、最小値は $-\frac{16}{3}$ ($t=\frac{4}{3}$、つまり $x = \log_2 \frac{4}{3}$ のとき) である。

**(2)**

1. $x + 2y = 8$ より、$x = 8 - 2y$ である。

2. $\log_2 x + \log_2 y = \log_2 (xy)$ となる。

3. $g(y) = xy = (8-2y)y = 8y - 2y^2$ とおく。$x>0, y>0$ であるから、$0 < y < 4$。

4. $g(y) = -2y^2 + 8y = -2(y^2 - 4y) = -2((y-2)^2 - 4) = -2(y-2)^2 + 8$ と平方完成する。

5. $0 < y < 4$ の範囲で、$g(y)$ の最大値は $y=2$ のとき $8$ である。

6. したがって、$\log_2 x + \log_2 y$ の最大値は $\log_2 8 = 3$ である。

**(3)**

1. $f(x) = (\log_3 9x)(\log_3 \frac{3}{x})$ を変形する。

2. $\log_3 9x = \log_3 9 + \log_3 x = 2 + \log_3 x$

3. $\log_3 \frac{3}{x} = \log_3 3 - \log_3 x = 1 - \log_3 x$

4. $t = \log_3 x$ とおくと、 $f(x) = (2+t)(1-t) = 2 - 2t + t - t^2 = -t^2 - t + 2$ となる。

5. $9^{-1} \le x \le 9$ より、$\log_3 9^{-1} \le \log_3 x \le \log_3 9$。つまり、$-2 \le t \le 2$ となる。

6. $f(t) = -t^2 - t + 2 = -(t^2 + t) + 2 = -( (t + \frac{1}{2})^2 - \frac{1}{4} ) + 2 = -(t+\frac{1}{2})^2 + \frac{9}{4}$

7. $-2 \le t \le 2$ の範囲で、$f(t)$ の最大値と最小値を求める。軸は $t = -\frac{1}{2}$ なので、この範囲に含まれる。

8. $f(-\frac{1}{2}) = \frac{9}{4}$

9. $f(-2) = -(-2)^2 - (-2) + 2 = -4 + 2 + 2 = 0$

1

0. $f(2) = -(2)^2 - 2 + 2 = -4$

1

1. したがって、最大値は $\frac{9}{4}$ ($t = -\frac{1}{2}$、つまり $x = 3^{-1/2} = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき) であり、最小値は $-4$ ($t = 2$、つまり $x = 9$ のとき) である。

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3. 最終的な答え

**(1)**

* 最大値: -4 ($x=1$ のとき)

* 最小値: $-\frac{16}{3}$ ($x = \log_2 \frac{4}{3}$ のとき)

**(2)**

* 最大値: 3

**(3)**

* 最大値: $\frac{9}{4}$ ($x = \frac{1}{\sqrt{3}}$ のとき)

* 最小値: -4 ($x = 9$ のとき)