次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の極限を求めます。 (1) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2}a_n$ ($n = 1, 2, 3, ...$) (2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + 1$ ($n = 1, 2, 3, ...$)

はい、承知いたしました。問題文に沿って、数列の極限を求める問題を解きます。

1. 問題の内容

次の条件によって定められる数列 $\{a_n\}$ の極限を求めます。

(1) $a_1 = 0$, $a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2}a_n$ ($n = 1, 2, 3, ...$)

(2) $a_1 = 1$, $a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + 1$ ($n = 1, 2, 3, ...$)

2. 解き方の手順

(1) の場合

数列 $\{a_n\}$ の極限が存在すると仮定し、その極限を $\alpha$ とすると、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$ が成り立ちます。

漸化式 $a_{n+1} = 1 - \frac{1}{2}a_n$ において $n \to \infty$ とすると、

$\alpha = 1 - \frac{1}{2}\alpha$

この式を $\alpha$ について解きます。

$\alpha + \frac{1}{2}\alpha = 1$

$\frac{3}{2}\alpha = 1$

$\alpha = \frac{2}{3}$

したがって、数列 $\{a_n\}$ の極限は $\frac{2}{3}$ であると予想されます。

(2) の場合

数列 $\{a_n\}$ の極限が存在すると仮定し、その極限を $\beta$ とすると、$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \beta$ が成り立ちます。

漸化式 $a_{n+1} = \frac{3}{4}a_n + 1$ において $n \to \infty$ とすると、

$\beta = \frac{3}{4}\beta + 1$

この式を $\beta$ について解きます。

$\beta - \frac{3}{4}\beta = 1$

$\frac{1}{4}\beta = 1$

$\beta = 4$

したがって、数列 $\{a_n\}$ の極限は 4 であると予想されます。

3. 最終的な答え

(1) $\frac{2}{3}$

(2) 4