関数 $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{(x+2)^2}}$ を微分せよ。

1. 問題の内容

関数 $y = \sqrt[3]{\frac{x+1}{(x+2)^2}}$ を微分せよ。

2. 解き方の手順

まず、関数をべき乗の形で書き換えます。

$y = \left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)^{\frac{1}{3}}$

次に、両辺の自然対数を取ります。

$\ln y = \ln \left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)^{\frac{1}{3}}$

$\ln y = \frac{1}{3} \ln \left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)$

$\ln y = \frac{1}{3} \left[ \ln (x+1) - \ln (x+2)^2 \right]$

$\ln y = \frac{1}{3} \left[ \ln (x+1) - 2 \ln (x+2) \right]$

両辺を $x$ で微分します。

$\frac{1}{y} \frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left[ \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+2} \right]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{y}{3} \left[ \frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+2} \right]$

右辺の括弧の中を通分します。

$\frac{1}{x+1} - \frac{2}{x+2} = \frac{(x+2) - 2(x+1)}{(x+1)(x+2)} = \frac{x+2-2x-2}{(x+1)(x+2)} = \frac{-x}{(x+1)(x+2)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \left(\frac{x+1}{(x+2)^2}\right)^{\frac{1}{3}} \left[ \frac{-x}{(x+1)(x+2)} \right]$

$\frac{dy}{dx} = \frac{1}{3} \frac{(x+1)^{\frac{1}{3}}}{(x+2)^{\frac{2}{3}}} \frac{-x}{(x+1)(x+2)}$

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{3 (x+1)^{\frac{2}{3}} (x+2)^{\frac{8}{3}}}$

3. 最終的な答え

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{3(x+1)^{\frac{2}{3}}(x+2)^{\frac{8}{3}}}$

または

$\frac{dy}{dx} = \frac{-x}{3\sqrt[3]{(x+1)^2(x+2)^8}}$