微分方程式 $y'' + 2y' + 2y = \sin t$ を初期条件 $y(0) = 0$, $y'(0) = 0$ の下でラプラス変換を用いて解く。

1. 問題の内容

微分方程式 $y'' + 2y' + 2y = \sin t$ を初期条件 $y(0) = 0$, $y'(0) = 0$ の下でラプラス変換を用いて解く。

2. 解き方の手順

(1) 与えられた微分方程式の両辺をラプラス変換する。ラプラス変換を $L\{y(t)\} = Y(s)$ と表すと、以下の公式を用いる。

$L\{y'(t)\} = sY(s) - y(0)$

$L\{y''(t)\} = s^2Y(s) - sy(0) - y'(0)$

$L\{\sin t\} = \frac{1}{s^2+1}$

(2) 初期条件 $y(0) = 0$, $y'(0) = 0$ を代入する。

$L\{y'\} = sY(s) - 0 = sY(s)$

$L\{y''\} = s^2Y(s) - s(0) - 0 = s^2Y(s)$

与えられた微分方程式をラプラス変換すると、

$s^2Y(s) + 2sY(s) + 2Y(s) = \frac{1}{s^2+1}$

$Y(s)(s^2 + 2s + 2) = \frac{1}{s^2+1}$

$Y(s) = \frac{1}{(s^2+1)(s^2+2s+2)}$

(3) 右辺を部分分数分解する。

$\frac{1}{(s^2+1)(s^2+2s+2)} = \frac{As+B}{s^2+1} + \frac{Cs+D}{s^2+2s+2}$

$1 = (As+B)(s^2+2s+2) + (Cs+D)(s^2+1)$

$1 = As^3 + 2As^2 + 2As + Bs^2 + 2Bs + 2B + Cs^3 + Cs + Ds^2 + D$

$1 = (A+C)s^3 + (2A+B+D)s^2 + (2A+2B+C)s + (2B+D)$

係数比較により、

$A+C = 0$

$2A+B+D = 0$

$2A+2B+C = 0$

$2B+D = 1$

これらの式を解くと、

$A = -\frac{2}{5}$, $B = \frac{1}{5}$, $C = \frac{2}{5}$, $D = \frac{3}{5}$

したがって、

$Y(s) = \frac{-\frac{2}{5}s + \frac{1}{5}}{s^2+1} + \frac{\frac{2}{5}s + \frac{3}{5}}{s^2+2s+2}$

$Y(s) = \frac{-2s+1}{5(s^2+1)} + \frac{2s+3}{5(s^2+2s+2)}$

$Y(s) = \frac{-2s+1}{5(s^2+1)} + \frac{2s+2+1}{5((s+1)^2+1)}$

$Y(s) = \frac{-2s+1}{5(s^2+1)} + \frac{2(s+1)+1}{5((s+1)^2+1)}$

$Y(s) = -\frac{2}{5} \frac{s}{s^2+1} + \frac{1}{5} \frac{1}{s^2+1} + \frac{2}{5} \frac{s+1}{(s+1)^2+1} + \frac{1}{5} \frac{1}{(s+1)^2+1}$

(4) 逆ラプラス変換を行う。

$y(t) = L^{-1}\{Y(s)\} = -\frac{2}{5} \cos t + \frac{1}{5} \sin t + \frac{2}{5} e^{-t} \cos t + \frac{1}{5} e^{-t} \sin t$

3. 最終的な答え

$y(t) = -\frac{2}{5} \cos t + \frac{1}{5} \sin t + \frac{2}{5} e^{-t} \cos t + \frac{1}{5} e^{-t} \sin t$

$y(t) = \frac{1}{5} ( -2\cos t + \sin t + 2 e^{-t}\cos t + e^{-t} \sin t)$