関数 $y = (3x+1)(x^2-x+4)$ の導関数 $y'$ を求める問題です。

解析学導関数積の微分微分
2025/5/18

1. 問題の内容

関数 y=(3x+1)(x2x+4)y = (3x+1)(x^2-x+4) の導関数 yy' を求める問題です。

2. 解き方の手順

積の微分公式 (uv)=uv+uv(uv)' = u'v + uv' を用います。
ここで、u=3x+1u = 3x+1v=x2x+4v = x^2 - x + 4 とおきます。
まず、uu の導関数 uu' を求めます。
u=ddx(3x+1)=3u' = \frac{d}{dx}(3x+1) = 3
次に、vv の導関数 vv' を求めます。
v=ddx(x2x+4)=2x1v' = \frac{d}{dx}(x^2 - x + 4) = 2x - 1
積の微分公式に当てはめます。
y=uv+uv=3(x2x+4)+(3x+1)(2x1)y' = u'v + uv' = 3(x^2-x+4) + (3x+1)(2x-1)
展開して整理します。
y=3x23x+12+6x23x+2x1y' = 3x^2 - 3x + 12 + 6x^2 - 3x + 2x - 1
y=(3x2+6x2)+(3x3x+2x)+(121)y' = (3x^2 + 6x^2) + (-3x - 3x + 2x) + (12 - 1)
y=9x24x+11y' = 9x^2 - 4x + 11

3. 最終的な答え

y=9x24x+11y' = 9x^2 - 4x + 11
したがって、答えは選択肢②です。

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