与えられた極限を計算します。 $$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 3x}$$

1. 問題の内容

与えられた極限を計算します。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 3x}$$

2. 解き方の手順

$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$ であることを利用して、与えられた式を書き換えます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\tan x}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{\cos x}}{\sin 3x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{\cos x \sin 3x}$$

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$ と $\lim_{x \to 0} \cos x = 1$ を利用するために、分子と分母を $x$ で割ります。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x \frac{\sin 3x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x \cdot 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}}$$

$x \to 0$ のとき $3x \to 0$ であるので、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x} = 1$ が成り立ちます。

$$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{\sin x}{x}}{\cos x \cdot 3 \cdot \frac{\sin 3x}{3x}} = \frac{\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}}{\lim_{x \to 0} \cos x \cdot 3 \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin 3x}{3x}} = \frac{1}{1 \cdot 3 \cdot 1} = \frac{1}{3}$$

3. 最終的な答え

$$\frac{1}{3}$$