与えられた定積分の値を求めます。定積分は以下の通りです。 $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin(\frac{M\pi}{a}x) \sin(\frac{N\pi}{a}x) dx$

1. 問題の内容

与えられた定積分の値を求めます。定積分は以下の通りです。

$\int_{-\infty}^{+\infty} \sin(\frac{M\pi}{a}x) \sin(\frac{N\pi}{a}x) dx$

2. 解き方の手順

三角関数の積を和の形に変換する公式を利用します。

$\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$

この公式を積分に適用すると、

$\int_{-\infty}^{+\infty} \sin(\frac{M\pi}{a}x) \sin(\frac{N\pi}{a}x) dx = \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} [\cos(\frac{(M-N)\pi}{a}x) - \cos(\frac{(M+N)\pi}{a}x)] dx$

次に、積分を分割します。

$\frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \cos(\frac{(M-N)\pi}{a}x) dx - \frac{1}{2} \int_{-\infty}^{+\infty} \cos(\frac{(M+N)\pi}{a}x) dx$

ここで、ディラックのデルタ関数 $\delta(x)$ のフーリエ変換の性質を利用します。

$\int_{-\infty}^{+\infty} \cos(kx) dx = \pi[\delta(k) + \delta(-k)] = 2\pi \delta(k)$

ただし、$k=0$のときのみ値を持つとします。つまり、$k \neq 0$のときは 0 とします。

したがって、

$\int_{-\infty}^{+\infty} \cos(\frac{(M-N)\pi}{a}x) dx = 2\pi \delta(\frac{(M-N)\pi}{a}) = \frac{2a}{\pi}\pi \delta(M-N) = 2a\delta(M-N)$

$\int_{-\infty}^{+\infty} \cos(\frac{(M+N)\pi}{a}x) dx = 2\pi \delta(\frac{(M+N)\pi}{a}) = \frac{2a}{\pi}\pi \delta(M+N) = 2a\delta(M+N)$

これを積分に代入すると、

$\frac{1}{2}[2a\delta(M-N) - 2a\delta(M+N)] = a[\delta(M-N) - \delta(M+N)]$

$M$と$N$が正の整数であるという前提では、$M+N$が0になることはないので、$\delta(M+N)=0$。したがって、

$a\delta(M-N)$

ここで$M, N$は整数なので、

$M=N$のとき$\delta(M-N) = 1$、それ以外のとき$\delta(M-N) = 0$。

したがって、積分は以下のようになります。

$M=N$のとき、$a$

$M \neq N$のとき、$0$

3. 最終的な答え

$M=N$のとき、$a$

$M \neq N$のとき、$0$

または、

$a\delta_{M,N}$ （ただし$\delta_{M,N}$はクロネッカーのデルタ）