以下の極限を計算します。 $\lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$

1. 問題の内容

以下の極限を計算します。

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}}$

2. 解き方の手順

$x \to -\infty$のとき、$2^x \to 0$であり、$2^{-x} \to \infty$となることを利用します。

分子と分母を$2^{-x}$で割ると、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2^x - 2^{-x}}{2^x + 2^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2^x/2^{-x} - 2^{-x}/2^{-x}}{2^x/2^{-x} + 2^{-x}/2^{-x}} = \lim_{x \to -\infty} \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1}$

ここで、$x \to -\infty$のとき、$2x \to -\infty$なので、$2^{2x} \to 0$となります。したがって、

$\lim_{x \to -\infty} \frac{2^{2x} - 1}{2^{2x} + 1} = \frac{0 - 1}{0 + 1} = \frac{-1}{1} = -1$

3. 最終的な答え

-1