5人の生徒が50点満点のゲームに2回参加した。 (1) 1回目の得点の平均値、分散、標準偏差を求める。 (2) 1回目と2回目の得点の相関係数を求める。ただし、$\sqrt{3}=1.73$ を用いて小数第3位を四捨五入して答えよ。

1. 問題の内容

5人の生徒が50点満点のゲームに2回参加した。

(1) 1回目の得点の平均値、分散、標準偏差を求める。

(2) 1回目と2回目の得点の相関係数を求める。ただし、$\sqrt{3}=1.73$ を用いて小数第3位を四捨五入して答えよ。

2. 解き方の手順

(1)

1回目の得点は、43, 41, 40, 39, 37 である。

平均値 $\bar{x}$ は、

$\bar{x} = \frac{43 + 41 + 40 + 39 + 37}{5} = \frac{200}{5} = 40$

分散 $s^2$ は、

$s^2 = \frac{(43-40)^2 + (41-40)^2 + (40-40)^2 + (39-40)^2 + (37-40)^2}{5} = \frac{3^2 + 1^2 + 0^2 + (-1)^2 + (-3)^2}{5} = \frac{9+1+0+1+9}{5} = \frac{20}{5} = 4$

標準偏差 $s$ は、

$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{4} = 2$

(2)

2回目の得点は、49, 43, 47, 40, 41 である。

平均値 $\bar{y}$ は、

$\bar{y} = \frac{49+43+47+40+41}{5} = \frac{220}{5} = 44$

1回目の偏差値は、3, 1, 0, -1, -3

2回目の偏差値は、5, -1, 3, -4, -3

1回目の分散は、$s_x^2 = 4$

1回目の標準偏差は、$s_x = 2$

2回目の分散は、$s_y^2 = \frac{25+1+9+16+9}{5} = \frac{60}{5} = 12$

2回目の標準偏差は、$s_y = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} = 2 \times 1.73 = 3.46$

共分散 $s_{xy}$ は、

$s_{xy} = \frac{3 \times 5 + 1 \times (-1) + 0 \times 3 + (-1) \times (-4) + (-3) \times (-3)}{5} = \frac{15 - 1 + 0 + 4 + 9}{5} = \frac{27}{5} = 5.4$

相関係数 $r$ は、

$r = \frac{s_{xy}}{s_x s_y} = \frac{5.4}{2 \times 2\sqrt{3}} = \frac{5.4}{4 \sqrt{3}} = \frac{5.4}{4 \times 1.73} = \frac{5.4}{6.92} = 0.7803468208 \approx 0.78$

3. 最終的な答え

(1) 平均値: 40、分散: 4、標準偏差: 2

(2) 相関係数: 0.78