大小中の3つのサイコロを投げたとき、以下の確率を求めます。 (1) 出る目がすべて異なる確率 (2) 大、中、小の順に出る目が小さくなる確率

1. 問題の内容

大小中の3つのサイコロを投げたとき、以下の確率を求めます。

(1) 出る目がすべて異なる確率

(2) 大、中、小の順に出る目が小さくなる確率

2. 解き方の手順

(1) 全事象は、$6^3 = 216$通りです。

3つのサイコロの目がすべて異なる場合の数は、まず大のサイコロの目が6通り、中のサイコロの目が大のサイコロの目以外の5通り、小のサイコロの目が大と中のサイコロの目以外の4通りとなるので、$6 \times 5 \times 4 = 120$通りです。

よって、確率は、

$\frac{120}{216} = \frac{5}{9}$

(2) 大、中、小の順に出る目が小さくなるのは、3つのサイコロの目がすべて異なる場合です。

3つのサイコロの目をそれぞれa, b, cとすると、$a > b > c$となる組み合わせの数を求めます。

3つのサイコロの目の組み合わせは、1から6までの6個の数字から3個を選ぶ組み合わせの数と一致します。

組み合わせの数は、

${}_6 C_3 = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$

よって、確率は、

$\frac{20}{216} = \frac{5}{54}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{5}{9}$

(2) $\frac{5}{54}$