8つの文字A, B, C, D, E, F, G, Hをランダムに横一列に並べる。以下の条件を満たす確率を求める。 (1) AとBが両端にある (2) AはBより左、BはCより左にある。

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2. の問題

1. 問題の内容

8つの文字A, B, C, D, E, F, G, Hをランダムに横一列に並べる。以下の条件を満たす確率を求める。

(1) AとBが両端にある

(2) AはBより左、BはCより左にある。

2. 解き方の手順

(1) AとBが両端にある場合

まず、AとBを両端に固定する方法は2通り (A---B, B---A) 。

残りの6文字を並べる方法は $6!$ 通り。

よって、条件を満たす並べ方は $2 \times 6!$ 通り。

8文字を並べる全体の並べ方は $8!$ 通り。

したがって、求める確率は $\frac{2 \times 6!}{8!} = \frac{2}{8 \times 7} = \frac{1}{28}$

(2) AはBより左で、BはCより左にある場合

A, B, Cの順番が固定されているので、A, B, Cを同じ文字X, X, Xとみなして考える。

X, X, X, D, E, F, G, Hの8文字を並べる並べ方は $8!/3!$ 通り。

A, B, Cの順番は一意に定まるので、これが条件を満たす並べ方の数。

8文字を並べる全体の並べ方は $8!$ 通り。

したがって、求める確率は $\frac{8!/3!}{8!} = \frac{1}{3!} = \frac{1}{6}$

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{28}$

(2) $\frac{1}{6}$

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3. の問題

1. 問題の内容

1から10までの10枚の番号札から1枚引くとき、次の事象のうち互いに排反であるものを全て答える。

事象A: 偶数の札が出る

事象B: 奇数の札が出る

事象C: 6の約数の札が出る

事象D: 7の札が出る

2. 解き方の手順

事象A: {2, 4, 6, 8, 10}

事象B: {1, 3, 5, 7, 9}

事象C: {1, 2, 3, 6}

事象D: {7}

互いに排反な事象の組み合わせは、共通の要素を持たない2つの事象である。

AとB: 共通要素がないので、排反。

AとC: {2, 6} という共通要素があるので、排反ではない。

AとD: 共通要素がないので、排反。

BとC: {1, 3} という共通要素があるので、排反ではない。

BとD: {7} という共通要素があるので、排反ではない。

CとD: 共通要素がないので、排反。

3. 最終的な答え

AとB, AとD, CとD