与えられた9つの数式をそれぞれ計算し、簡略化された形で答えを求める。

はい、承知いたしました。問題の指示に従い、画像を参考に以下の問題を解いていきます。

1. 問題の内容

与えられた9つの数式をそれぞれ計算し、簡略化された形で答えを求める。

2. 解き方の手順

それぞれの問題に対して、以下の手順で計算を行います。

(1) $5\sqrt{2} \times 3\sqrt{6}$

- 係数同士、ルート同士を掛け合わせます。

$5 \times 3 \times \sqrt{2} \times \sqrt{6} = 15\sqrt{12}$

- $\sqrt{12}$ を簡略化します。$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

- よって、$15 \times 2\sqrt{3} = 30\sqrt{3}$

(2) $\sqrt{3}\sqrt{48}$

- ルート同士を掛け合わせます。$\sqrt{3} \times \sqrt{48} = \sqrt{144}$

- $\sqrt{144}$ を計算します。$\sqrt{144} = 12$

(3) $\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{7}}$

- 分数のルートは一つにまとめられます。$\frac{\sqrt{42}}{\sqrt{7}} = \sqrt{\frac{42}{7}}$

- $\frac{42}{7}$ を計算します。$\frac{42}{7} = 6$

- よって、$\sqrt{6}$

(4) $\sqrt{3}(2\sqrt{3}-\sqrt{6})$

- 分配法則を用いて展開します。$\sqrt{3} \times 2\sqrt{3} - \sqrt{3} \times \sqrt{6} = 2 \times 3 - \sqrt{18}$

- $\sqrt{18}$ を簡略化します。$\sqrt{18} = \sqrt{9 \times 2} = 3\sqrt{2}$

- よって、$6 - 3\sqrt{2}$

(5) $\sqrt{5}(3\sqrt{20}-4\sqrt{45})$

- 分配法則を用いて展開します。$\sqrt{5} \times 3\sqrt{20} - \sqrt{5} \times 4\sqrt{45} = 3\sqrt{100} - 4\sqrt{225}$

- $\sqrt{100}$ と $\sqrt{225}$ を計算します。$\sqrt{100} = 10$, $\sqrt{225} = 15$

- よって、$3 \times 10 - 4 \times 15 = 30 - 60 = -30$

(6) $(\sqrt{3}+\sqrt{7})^2$

- $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$ の公式を利用します。$(\sqrt{3})^2 + 2\sqrt{3}\sqrt{7} + (\sqrt{7})^2 = 3 + 2\sqrt{21} + 7$

- よって、$10 + 2\sqrt{21}$

(7) $(\sqrt{6}-3\sqrt{2})^2$

- $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$ の公式を利用します。 $(\sqrt{6})^2 - 2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} + (3\sqrt{2})^2 = 6 - 6\sqrt{12} + 9 \times 2$

- $\sqrt{12}$ を簡略化します。$\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}$

- よって、$6 - 6 \times 2\sqrt{3} + 18 = 24 - 12\sqrt{3}$

(8) $(2\sqrt{2}-\sqrt{3})(2\sqrt{2}+\sqrt{3})$

- $(a-b)(a+b) = a^2 - b^2$ の公式を利用します。 $(2\sqrt{2})^2 - (\sqrt{3})^2 = 4 \times 2 - 3$

- よって、$8 - 3 = 5$

(9) $(\sqrt{20}+\sqrt{3})(\sqrt{5}-\sqrt{27})$

- 展開します。$\sqrt{20}\sqrt{5} - \sqrt{20}\sqrt{27} + \sqrt{3}\sqrt{5} - \sqrt{3}\sqrt{27} = \sqrt{100} - \sqrt{540} + \sqrt{15} - \sqrt{81}$

- $\sqrt{100}=10$, $\sqrt{81}=9$

- $\sqrt{540}$ を簡略化します。$\sqrt{540} = \sqrt{36 \times 15} = 6\sqrt{15}$

- よって、$10 - 6\sqrt{15} + \sqrt{15} - 9 = 1 - 5\sqrt{15}$

3. 最終的な答え

(1) $30\sqrt{3}$

(2) $12$

(3) $\sqrt{6}$

(4) $6 - 3\sqrt{2}$

(5) $-30$

(6) $10 + 2\sqrt{21}$

(7) $24 - 12\sqrt{3}$

(8) $5$

(9) $1 - 5\sqrt{15}$