以下の問題を解きます。 (1) $(2x+1)(3x-4)$ を展開する。 (2) $(a+b+c)^2$ を展開する。 (3) $9a^2 - 25b^2$ を因数分解する。 (4) $4a^2 + 8ab - 21b^2$ を因数分解する。 (5) $2 - \sqrt{5} + |3 - \sqrt{5}|$ を計算する。 (6) $\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$ の分母を有理化する。 (7) 不等式 $-\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 7$ を解く。 (8) 不等式 $|x-4| \ge 5$ を解く。

1. 問題の内容

以下の問題を解きます。

(1) $(2x+1)(3x-4)$ を展開する。

(2) $(a+b+c)^2$ を展開する。

(3) $9a^2 - 25b^2$ を因数分解する。

(4) $4a^2 + 8ab - 21b^2$ を因数分解する。

(5) $2 - \sqrt{5} + |3 - \sqrt{5}|$ を計算する。

(6) $\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$ の分母を有理化する。

(7) 不等式 $-\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 7$ を解く。

(8) 不等式 $|x-4| \ge 5$ を解く。

2. 解き方の手順

(1) $(2x+1)(3x-4)$ を展開する。

$(2x+1)(3x-4) = 2x \cdot 3x + 2x \cdot (-4) + 1 \cdot 3x + 1 \cdot (-4) = 6x^2 - 8x + 3x - 4 = 6x^2 - 5x - 4$

(2) $(a+b+c)^2$ を展開する。

$(a+b+c)^2 = (a+b+c)(a+b+c) = a^2 + ab + ac + ba + b^2 + bc + ca + cb + c^2 = a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $9a^2 - 25b^2$ を因数分解する。

$9a^2 - 25b^2 = (3a)^2 - (5b)^2 = (3a + 5b)(3a - 5b)$

(4) $4a^2 + 8ab - 21b^2$ を因数分解する。

$4a^2 + 8ab - 21b^2 = (2a)^2 + 4b(2a) - 21b^2 = (2a - 3b)(2a + 7b)$

(5) $2 - \sqrt{5} + |3 - \sqrt{5}|$ を計算する。

$\sqrt{5} \approx 2.236$ なので、$3 - \sqrt{5} > 0$ である。よって、$|3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5}$

$2 - \sqrt{5} + |3 - \sqrt{5}| = 2 - \sqrt{5} + 3 - \sqrt{5} = 5 - 2\sqrt{5}$

(6) $\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}}$ の分母を有理化する。

$\frac{3+\sqrt{2}}{3-\sqrt{2}} = \frac{(3+\sqrt{2})(3+\sqrt{2})}{(3-\sqrt{2})(3+\sqrt{2})} = \frac{9 + 6\sqrt{2} + 2}{9 - 2} = \frac{11 + 6\sqrt{2}}{7}$

(7) 不等式 $-\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 7$ を解く。

$-\frac{3x-1}{2} > \frac{2}{3}x - 7$

$-3(3x-1) > 4x - 42$

$-9x + 3 > 4x - 42$

$-13x > -45$

$x < \frac{45}{13}$

(8) 不等式 $|x-4| \ge 5$ を解く。

$x-4 \ge 5$ または $x-4 \le -5$

$x \ge 9$ または $x \le -1$

3. 最終的な答え

(1) $6x^2 - 5x - 4$

(2) $a^2 + b^2 + c^2 + 2ab + 2bc + 2ca$

(3) $(3a + 5b)(3a - 5b)$

(4) $(2a - 3b)(2a + 7b)$

(5) $5 - 2\sqrt{5}$

(6) $\frac{11 + 6\sqrt{2}}{7}$

(7) $x < \frac{45}{13}$

(8) $x \le -1, x \ge 9$