複素数 $i$ を虚数単位とし、$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 40 = 0$ が $-1 + 3i$ を解にもつとき、$a, b$ の値、および他の解を求める。その後、$α = -1 + 3i$, $β = $（他の解）, $γ =$ （実数解） とおいたとき、$α^3 + β^3 + γ^3$ と $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ}$ の値を求める。

1. 問題の内容

複素数 $i$ を虚数単位とし、$a, b$ は実数とする。3次方程式 $x^3 + ax^2 + bx + 40 = 0$ が $-1 + 3i$ を解にもつとき、$a, b$ の値、および他の解を求める。その後、$α = -1 + 3i$, $β =$（他の解）, $γ =$ （実数解） とおいたとき、$α^3 + β^3 + γ^3$ と $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ}$ の値を求める。

2. 解き方の手順

(1) $-1 + 3i$ が解であるとき、共役複素数 $-1 - 3i$ も解である。実数解を $γ$ とすると、3つの解の積は $-40$ であるから、

$(-1 + 3i)(-1 - 3i)γ = -40$

$(1 + 9)γ = -40$

$10γ = -40$

$γ = -4$

(2) 解と係数の関係より、

3つの解の和は $-a$ であるから、

$(-1 + 3i) + (-1 - 3i) + (-4) = -a$

$-6 = -a$

$a = 6$

(3) 2つの複素数解の積の和は $b$ であるから、

$(-1 + 3i)(-1 - 3i) + (-1 + 3i)(-4) + (-1 - 3i)(-4) = b$

$(1 + 9) + (4 - 12i) + (4 + 12i) = b$

$10 + 8 = b$

$b = 18$

(4) $α = -1 + 3i$, $β = -1 - 3i$, $γ = -4$ とおくとき、

$α^3 = (-1 + 3i)^3 = (-1)^3 + 3(-1)^2(3i) + 3(-1)(3i)^2 + (3i)^3$

$= -1 + 9i + 27 - 27i = 26 - 18i$

$β^3 = (-1 - 3i)^3 = (-1)^3 + 3(-1)^2(-3i) + 3(-1)(-3i)^2 + (-3i)^3$

$= -1 - 9i + 27 + 27i = 26 + 18i$

$γ^3 = (-4)^3 = -64$

$α^3 + β^3 + γ^3 = (26 - 18i) + (26 + 18i) + (-64) = 52 - 64 = -12$

(5) $\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ} = \frac{αβ + βγ + γα}{αβγ}$

$αβ = (-1 + 3i)(-1 - 3i) = 1 + 9 = 10$

$βγ = (-1 - 3i)(-4) = 4 + 12i$

$γα = (-4)(-1 + 3i) = 4 - 12i$

$αβ + βγ + γα = 10 + 4 + 12i + 4 - 12i = 18$

$αβγ = (-1 + 3i)(-1 - 3i)(-4) = 10(-4) = -40$

$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ} = \frac{18}{-40} = -\frac{9}{20}$

3. 最終的な答え

$a = 6$

$b = 18$

他の解: $-1 - 3i$, $-4$

$α^3 + β^3 + γ^3 = -12$

$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} + \frac{1}{γ} = -\frac{9}{20}$