$0 \le x \le 6$ の範囲において、2つの1次関数 $y = mx + 5$ と $y = \frac{3}{2}x + n$ の $y$ の変域が一致するときの、$m$ と $n$ の値を求める問題です。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 6$ の範囲において、2つの1次関数 $y = mx + 5$ と $y = \frac{3}{2}x + n$ の $y$ の変域が一致するときの、$m$ と $n$ の値を求める問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y = mx + 5$ と $y = \frac{3}{2}x + n$ が1次関数であることから、$m \ne 0$ で $\frac{3}{2} \ne 0$です。

次に、$0 \le x \le 6$ における $y$ の変域を考えます。

$y = mx + 5$ について、$m$ の符号によって $x=0$ と $x=6$ のどちらで $y$ が最大値または最小値をとるかが変わります。

$m > 0$ のとき、$x=0$ で $y=5$、$x=6$ で $y=6m+5$。したがって、$5 \le y \le 6m+5$。

$m < 0$ のとき、$x=0$ で $y=5$、$x=6$ で $y=6m+5$。したがって、$6m+5 \le y \le 5$。

$y = \frac{3}{2}x + n$ については、$\frac{3}{2} > 0$ なので、$x=0$ で $y=n$、$x=6$ で $y = \frac{3}{2}(6) + n = 9+n$。したがって、$n \le y \le 9+n$。

2つの関数の変域が一致するには、以下の2つの場合が考えられます。

(i) $m > 0$ の場合:

$5 = n$ かつ $6m+5 = 9+n$。

$n=5$ を $6m+5 = 9+n$ に代入すると、$6m+5 = 9+5$ より $6m = 9$ となり、$m = \frac{3}{2}$。しかし、$m = \frac{3}{2}$ の場合、2つの関数は異なる関数という条件を満たしません。

(ii) $m < 0$ の場合:

$5 = 9+n$ かつ $6m+5 = n$。

$5 = 9+n$ より $n = -4$。

$6m+5 = n$ に $n=-4$ を代入すると、$6m+5 = -4$ より $6m = -9$ となり、$m = -\frac{3}{2}$。

したがって、$m = -\frac{3}{2}$ かつ $n = -4$ が解となります。

3. 最終的な答え

$m = -\frac{3}{2}$, $n = -4$