複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}$ を満たすとき、$z^{12}$ の値を求めよ。

## 問題42

1. 問題の内容

複素数 $z$ が $z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}$ を満たすとき、$z^{12}$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

与えられた式 $z + \frac{1}{z} = \sqrt{3}$ の両辺に $z$ を掛けると、

$$z^2 + 1 = \sqrt{3} z$$

$$z^2 - \sqrt{3} z + 1 = 0$$

この2次方程式を解くために、解の公式を用いると、

$$z = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{(\sqrt{3})^2 - 4(1)(1)}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm \sqrt{3 - 4}}{2} = \frac{\sqrt{3} \pm i}{2}$$

$z$ を極形式で表すと、

$$z = \cos \theta + i \sin \theta$$

とおける。$z = \frac{\sqrt{3} + i}{2}$ のとき、

$\cos \theta = \frac{\sqrt{3}}{2}$ かつ $\sin \theta = \frac{1}{2}$ となるので、$\theta = \frac{\pi}{6}$。

したがって、$z = \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}$。

同様に、$z = \frac{\sqrt{3} - i}{2}$ のとき、$\theta = -\frac{\pi}{6}$ となるので、$z = \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right)$。

ド・モアブルの定理より、

$$z^{12} = \left( \cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6} \right)^{12} = \cos \left( 12 \cdot \frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( 12 \cdot \frac{\pi}{6} \right) = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1$$

または、

$$z^{12} = \left( \cos \left( -\frac{\pi}{6} \right) + i \sin \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right)^{12} = \cos \left( 12 \cdot \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) + i \sin \left( 12 \cdot \left( -\frac{\pi}{6} \right) \right) = \cos (-2\pi) + i \sin (-2\pi) = 1$$

3. 最終的な答え

$z^{12} = 1$

## 問題43

1. 問題の内容

$\alpha = \cos \frac{2}{7}\pi + i \sin \frac{2}{7}\pi$ のとき、$\alpha^6 + \alpha^5 + \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1$ の値を求めよ。

2. 解き方の手順

$\alpha = \cos \frac{2}{7}\pi + i \sin \frac{2}{7}\pi$ より、$\alpha^7 = \cos 2\pi + i \sin 2\pi = 1$ である。よって、$\alpha^7 - 1 = 0$ となる。

$\alpha \neq 1$ なので、

$\alpha^7 - 1 = (\alpha - 1)(\alpha^6 + \alpha^5 + \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1) = 0$ より、

$\alpha^6 + \alpha^5 + \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = 0$

3. 最終的な答え

$\alpha^6 + \alpha^5 + \alpha^4 + \alpha^3 + \alpha^2 + \alpha + 1 = 0$