$0 \le x \le 12$ の範囲で、$x$ と $y$ の関係を表す表を完成させる問題です。表の一部は埋まっており、ア、イ、ウ、エを埋める必要があります。

1. 問題の内容

$0 \le x \le 12$ の範囲で、$x$ と $y$ の関係を表す表を完成させる問題です。表の一部は埋まっており、ア、イ、ウ、エを埋める必要があります。

2. 解き方の手順

まず、$x$ の変域が連続していることに注目します。$4 \le x \le 6$ のときの式 $y = 6x - 16$ を利用して、他の区間の式を求めます。

* **アの計算:**

$0 \le x \le 4$ の区間では、 $x=4$ のとき $y=6(4)-16=24-16=8$ となります。

$0 \le x \le 4$ の区間では $x=0$のとき $y=0$となるので、この区間では比例の式 $y = ax$ であると予想できます。

$x=4$のとき$y=8$なので、$8 = a \times 4$ より $a=2$ となり、$y=2x$と予想できます。

$x=4$のときに$y=8$となるような定数関数は$y=8$です。$x=0$のときに$y=0$となる一次関数は$y=2x$です。

よって、アに当てはまるのは$2x$です。

* **イの計算:**

$y=6x-16$ は $x=6$のとき $y=6(6)-16=36-16=20$となります。

$x$ の変域 $6 \le x \le イ$ では、$x=6$ のとき、$y$ は連続的に変化していると考えられるので、式 $y = ウ$ は $x=6$のとき $y=20$をとる必要があります。

$イ$ は、$6 \le x \le イ$ の範囲の $x$ の上限を表しているので、次の区間の式を考えます。

$イ \le x \le 12$ の区間について考えます。$x=12$ のときに $y$ がどうなるかを考えます。

$6 \le x \le イ$ の区間は、$4 \le x \le 6$ の区間から $x$ が $2$ 増えると $y$ が $12$ 増えているので、同様に $x$ が $2$ 増えると $y$ が $12$ 増えると仮定すると、$x=8$のときに$y=32$, $x=10$のときに$y=44$, $x=12$のときに$y=56$となります。

$x$ が $2$ 増えると $y$ が $12$ 増えるので、$y = 6x + b$という形になると予想できます。

$x=イ$ で $6 \le x \le イ$ と $イ \le x \le 12$ の $y$ の値が一致すると仮定します。

$6 \le x \le イ$ の範囲では、グラフが直線であるとすると、$y = ax+b$という形になると予想できます。$x=6$ のとき $y=20$であり、$x=イ$のとき、$y=6*イ+b$となります。

$イ \le x \le 12$ の範囲では、 $y = cx+d$という形になると予想できます。$x=12$ のとき $y=56$であり、$x=イ$のとき、$y=c*イ+d$となります。

$x=イ$ において、$6*イ+b=c*イ+d$が成立する必要があります。

$イ \le x \le 12$ の区間では、 $y = 6x + b$ という形になるとすると、$y=6x+d$で、$x=イ$のとき$y$の値が一致すると仮定すると、$6x-16$の$6$の係数は変わらないと予想できます。

$イ$ は、$4 \le x \le 6$ の区間から $x$ が $2$ 増えた値と考えられるので、$イ=8$と予想できます。

$6 \le x \le 8$ の場合、$x=6$ のとき $y=20$ なので、$y = ax + b$ という式を考えると、$20 = 6a + b$ となります。$x=8$ のとき $y=32$ とすると、$32 = 8a + b$ となります。この二つの式を解くと、$2a = 12$ より $a=6$ となり、$b = 20 - 6a = 20 - 36 = -16$ となります。つまり、$y = 6x - 16$ となり、これは $4 \le x \le 6$ と同じ式なので、$y$ が連続ではないことになります。

$4 \le x \le 6$ から $6 \le x \le イ$に変化したときに$y$が連続になるようにするには、$x$の変域に対して線形に$y$が増加していく必要があります。

$6 \le x \le 8$ において、$x=6$ のとき $y=20$ なので、$y = a(x-6) + 20$という式を考えます。$x=8$ のとき、$y$ が $y = 6x + b$という式で表されると仮定すると、$y = 6x + b$ であり、$y = a(x-6) + 20$ でもあるので、$x=8$ のとき $a(8-6) + 20 = 6(8) + b$ となり、$2a + 20 = 48 + b$ となります。

仮に、 $イ = 8$ とすると、 $6 \le x \le 8$ になります。

* **ウの計算:**

$イ=8$と仮定すると、$6 \le x \le 8$の区間を考えます。この区間では、$x=6$のときに$y=20$，$x=8$のときに$y=32$となるので、この区間は$y=6x-16$となります。$6x-16$は区間$4\le x \le 6$と同じになるので、問題文と矛盾します。

$y = 6x - 16$ は $x=4$ で $y=8$ となり、$x=6$ で $y=20$ となります。

$x=0$ で $y=0$ となる $y = ax$ を考えると、$x=4$ で $y=8$ となる $y = 2x$ を考えることができます。

$y = 6x - 16$ が $x=6$ で $y=20$ となり、$6 \le x \le イ$ の範囲では $y$ が $20$ から変化すると考えます。

もし、$y$ が傾き $6$ で増加すると、$6 \le x \le イ$ の範囲では $y = 6x + b$ という形で表されます。

仮に、$x$ が $8$ になると $y = 6(8) -16 = 32$ となります。したがって、$6 \le x \le 8$ の $y$ の値の範囲は $20 \le y \le 32$ となります。

$x=8$ とすると、$8 \le x \le 12$ の範囲で、$x=8$ の $y=32$ が $8 \le x \le 12$ でも連続であると仮定します。

$8 \le x \le 12$ で、$x=12$ の $y$ の値を考えます。もし、傾きが $6$ であると $y=6x-40$ となります。

$x=12$ で $y=32$ であるとすると、 $6(12)-40 = 72 - 40 = 32$ となります。この場合、$y$ が傾き $6$ で連続的に変化するので、$6 \le x \le 8$の$y$の値の範囲は $20 \le y \le 32$となります。

* **エの計算:**

$8 \le x \le 12$の範囲では、$y = 6x - 40$となることが予想できます。$y = 6x + b$ とすると、$8 \le x \le 12$ の $y$ の値の範囲は、$6(8)+b \le y \le 6(12)+b$となります。

3. 最終的な答え

ア: $2x$

イ: $8$

ウ: $6x - 16$

エ: $6x-40$