1. 次の3つの極限を求めます。 (1) $\lim_{x \to -2-0} \frac{x}{4-x^2}$ (2) $\lim_{x \to -2+0} \frac{x}{4-x^2}$ (3) $\lim_{x \to -2} \frac{x}{4-x^2}$

はい、承知いたしました。以下に問題の解答を示します。

1. 問題の内容

1. 次の3つの極限を求めます。

(1) $\lim_{x \to -2-0} \frac{x}{4-x^2}$

(2) $\lim_{x \to -2+0} \frac{x}{4-x^2}$

(3) $\lim_{x \to -2} \frac{x}{4-x^2}$

2. 次の2つの関数が $x=0$ で連続かどうかを理由とともに答えます。

(1)

$f(x) = \begin{cases}

x \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\

0 & (x = 0)

\end{cases}$

(2)

$g(x) = \begin{cases}

\frac{\sin x^2}{x^2} & (x \neq 0) \\

1 & (x = 0)

\end{cases}$

2. 解き方の手順

3. 極限の計算

(1) $x \to -2-0$ のとき、$x$ は $-2$ より少し小さい値から $-2$ に近づきます。

$4-x^2 = (2-x)(2+x)$ であり、$x \to -2-0$ のとき、$2-x \to 4$、$2+x \to -0$ となります。したがって、$4-x^2 \to -0$ となります。

$\lim_{x \to -2-0} \frac{x}{4-x^2} = \frac{-2}{-0} = \infty$

(2) $x \to -2+0$ のとき、$x$ は $-2$ より少し大きい値から $-2$ に近づきます。

$4-x^2 = (2-x)(2+x)$ であり、$x \to -2+0$ のとき、$2-x \to 4$、$2+x \to +0$ となります。したがって、$4-x^2 \to +0$ となります。

$\lim_{x \to -2+0} \frac{x}{4-x^2} = \frac{-2}{+0} = -\infty$

(3) $\lim_{x \to -2-0} \frac{x}{4-x^2} = \infty$ であり、$\lim_{x \to -2+0} \frac{x}{4-x^2} = -\infty$ なので、$\lim_{x \to -2} \frac{x}{4-x^2}$ は存在しません。

4. 関数の連続性

(1) $f(x) = \begin{cases}

x \sin(\frac{1}{x}) & (x \neq 0) \\

0 & (x = 0)

\end{cases}$

$x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0)$ が成立する必要があります。

$f(0) = 0$ です。

$-1 \leq \sin(\frac{1}{x}) \leq 1$ なので、$-|x| \leq x \sin(\frac{1}{x}) \leq |x|$ が成り立ちます。

$\lim_{x \to 0} -|x| = 0$ であり、$\lim_{x \to 0} |x| = 0$ なので、はさみうちの原理より、$\lim_{x \to 0} x \sin(\frac{1}{x}) = 0$ です。

したがって、$\lim_{x \to 0} f(x) = f(0) = 0$ となるので、$f(x)$ は $x=0$ で連続です。

(2) $g(x) = \begin{cases}

\frac{\sin x^2}{x^2} & (x \neq 0) \\

1 & (x = 0)

\end{cases}$

$x=0$ で連続であるためには、$\lim_{x \to 0} g(x) = g(0)$ が成立する必要があります。

$g(0) = 1$ です。

$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x^2}$ を計算します。$t = x^2$ とすると、$x \to 0$ のとき、$t \to 0$ です。

したがって、$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x^2}{x^2} = \lim_{t \to 0} \frac{\sin t}{t} = 1$ です。

$\lim_{x \to 0} g(x) = g(0) = 1$ となるので、$g(x)$ は $x=0$ で連続です。

3. 最終的な答え

4. (1) $\lim_{x \to -2-0} \frac{x}{4-x^2} = \infty$

(2) $\lim_{x \to -2+0} \frac{x}{4-x^2} = -\infty$

(3) $\lim_{x \to -2} \frac{x}{4-x^2}$ は存在しない

5. (1) $f(x)$ は $x=0$ で連続である。

(2) $g(x)$ は $x=0$ で連続である。