与えられた問題は、2次関数のグラフの頂点、平行移動、最大値、x軸との共有点の個数、および2次不等式の解を求める問題です。具体的には以下の7つの小問があります。 (1) $y = 2x^2 + 4x - 3$ の頂点の座標を求める。 (2) $y = 2x^2$ をx軸方向に3、y軸方向に-4平行移動したグラフの式を求める。 (3) $y = -x^2 + 4x$ の最大値を求める。 (4) $y = 3x^2 - 5x + 1$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。 (5) $y = -2x^2 + x - 3$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。 (6) $x^2 - 6x - 16 \le 0$ の解を求める。 (7) $x^2 + x - 6 > 0$ の解を求める。

1. 問題の内容

与えられた問題は、2次関数のグラフの頂点、平行移動、最大値、x軸との共有点の個数、および2次不等式の解を求める問題です。具体的には以下の7つの小問があります。

(1) $y = 2x^2 + 4x - 3$ の頂点の座標を求める。

(2) $y = 2x^2$ をx軸方向に3、y軸方向に-4平行移動したグラフの式を求める。

(3) $y = -x^2 + 4x$ の最大値を求める。

(4) $y = 3x^2 - 5x + 1$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。

(5) $y = -2x^2 + x - 3$ のグラフとx軸との共有点の個数を求める。

(6) $x^2 - 6x - 16 \le 0$ の解を求める。

(7) $x^2 + x - 6 > 0$ の解を求める。

2. 解き方の手順

(1) $y = 2x^2 + 4x - 3$ を平方完成する。

$y = 2(x^2 + 2x) - 3 = 2(x^2 + 2x + 1 - 1) - 3 = 2(x+1)^2 - 2 - 3 = 2(x+1)^2 - 5$

頂点の座標は $(-1, -5)$。

(2) $y = 2x^2$ をx軸方向に3、y軸方向に-4平行移動したグラフの式は、

$y + 4 = 2(x-3)^2$

$y = 2(x-3)^2 - 4 = 2(x^2 - 6x + 9) - 4 = 2x^2 - 12x + 18 - 4 = 2x^2 - 12x + 14$

(3) $y = -x^2 + 4x$ を平方完成する。

$y = -(x^2 - 4x) = -(x^2 - 4x + 4 - 4) = -(x-2)^2 + 4$

最大値は $4$。

(4) $y = 3x^2 - 5x + 1$ の判別式を計算する。

$D = (-5)^2 - 4(3)(1) = 25 - 12 = 13 > 0$

共有点の個数は $2$ 個。

(5) $y = -2x^2 + x - 3$ の判別式を計算する。

$D = (1)^2 - 4(-2)(-3) = 1 - 24 = -23 < 0$

共有点の個数は $0$ 個。

(6) $x^2 - 6x - 16 \le 0$ を因数分解する。

$(x-8)(x+2) \le 0$

$-2 \le x \le 8$

(7) $x^2 + x - 6 > 0$ を因数分解する。

$(x+3)(x-2) > 0$

$x < -3$ または $x > 2$

3. 最終的な答え

(1) 頂点の座標は $(-1, -5)$。

(2) $y = 2x^2 - 12x + 14$

(3) 最大値は $4$。

(4) 共有点の個数は $2$ 個。

(5) 共有点の個数は $0$ 個。

(6) $-2 \le x \le 8$

(7) $x < -3$ または $x > 2$