ある高校の生徒全員について、3種類の本A, B, Cを持っているかどうかを調査した結果、Aを持っていない生徒が62人、Bを持っていない生徒が58人、Cを持っていない生徒が72人であった。また、A, B, Cのうちちょうど1種類持っている生徒が46人、2種類持っている生徒が40人、3種類持っている生徒が17人であった。 (1) 生徒の総数を求めよ。 (2) Aのみを所持している生徒の人数について、考えられる最小値と最大値を求めよ。

1. 問題の内容

ある高校の生徒全員について、3種類の本A, B, Cを持っているかどうかを調査した結果、Aを持っていない生徒が62人、Bを持っていない生徒が58人、Cを持っていない生徒が72人であった。また、A, B, Cのうちちょうど1種類持っている生徒が46人、2種類持っている生徒が40人、3種類持っている生徒が17人であった。

(1) 生徒の総数を求めよ。

(2) Aのみを所持している生徒の人数について、考えられる最小値と最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 生徒の総数を求める。

まず、生徒の総数を $N$ とする。Aを持っている生徒の数を $n(A)$、Bを持っている生徒の数を $n(B)$、Cを持っている生徒の数を $n(C)$とする。

与えられた条件より、

$n(A^c) = 62$

$n(B^c) = 58$

$n(C^c) = 72$

ここで、$A^c, B^c, C^c$ はそれぞれA, B, Cを持っていない生徒の集合を表す。

また、

1種類だけ持っている人数は46人

2種類だけ持っている人数は40人

3種類持っている人数は17人

$n(A^c) + n(B^c) + n(C^c) = 62 + 58 + 72 = 192$

これは、

$N - n(A) + N - n(B) + N - n(C) = 3N - (n(A) + n(B) + n(C))$

したがって、 $3N - (n(A) + n(B) + n(C)) = 192$

1種類だけ持っている人数を $x$、2種類だけ持っている人数を $y$、3種類持っている人数を $z$とすると、

$x = 46$

$y = 40$

$z = 17$

$n(A) + n(B) + n(C) = x + 2y + 3z = 46 + 2(40) + 3(17) = 46 + 80 + 51 = 177$

$3N - 177 = 192$

$3N = 192 + 177 = 369$

$N = 369 / 3 = 123$

(2) Aのみを所持している生徒の人数について考える。

Aのみを持っている生徒の数を $n(A \cap B^c \cap C^c)$とする。

Bのみを持っている生徒の数を $n(B \cap A^c \cap C^c)$とする。

Cのみを持っている生徒の数を $n(C \cap A^c \cap B^c)$とする。

$n(A \cap B^c \cap C^c) + n(B \cap A^c \cap C^c) + n(C \cap A^c \cap B^c) = 46$

A, Bのみを持っている生徒の数を $a$とする。

B, Cのみを持っている生徒の数を $b$とする。

A, Cのみを持っている生徒の数を $c$とする。

$a + b + c = 40$

A, B, C 全て持っている生徒の数を $d$とすると、$d = 17$

$n(A) = n(A \cap B^c \cap C^c) + a + c + d$

$n(B) = n(B \cap A^c \cap C^c) + a + b + d$

$n(C) = n(C \cap A^c \cap B^c) + b + c + d$

$n(A) = 123 - 62 = 61$

$n(B) = 123 - 58 = 65$

$n(C) = 123 - 72 = 51$

$n(A \cap B^c \cap C^c) = n(A) - a - c - d = 61 - a - c - 17 = 44 - a - c$

$n(B \cap A^c \cap C^c) = n(B) - a - b - d = 65 - a - b - 17 = 48 - a - b$

$n(C \cap A^c \cap B^c) = n(C) - b - c - d = 51 - b - c - 17 = 34 - b - c$

$n(A \cap B^c \cap C^c) + n(B \cap A^c \cap C^c) + n(C \cap A^c \cap B^c) = (44 - a - c) + (48 - a - b) + (34 - b - c) = 46$

$126 - 2(a + b + c) = 46$

$2(a + b + c) = 126 - 46 = 80$

$a + b + c = 40$

Aのみを所持している生徒の最小値は、 $n(A \cap B^c \cap C^c)$が最小となるとき。

$a+c$ が最大となるとき、$a + c = 40 - b$

$b$ が最小値0の時、$a+c = 40$

$n(A \cap B^c \cap C^c) = 44 - a - c = 44 - 40 = 4$

Aのみを所持している生徒の最大値は、$n(A \cap B^c \cap C^c)$が最大となるとき。

$a+c$ が最小となるとき、$a+c = 40 - b$

$b$ が最大値40の時、$a+c = 0$

$n(A \cap B^c \cap C^c) = 44 - a - c = 44 - 0 = 44$

3. 最終的な答え

(1) 生徒の総数: 123人

(2) Aのみを所持している生徒の人数: 最小値 4人, 最大値 44人