与えられた5つの関数をそれぞれ微分する問題です。 (1) $f(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 - 2x - \frac{2}{x^3}$ (2) $f(x) = (2x-3)(x^2+5x+2)$ (3) $f(x) = \frac{2}{x^3-3}$ (4) $f(x) = \frac{2x+3}{3x-2}$ (5) $f(x) = \frac{4x-1}{x^2+x+1}$

1. 問題の内容

与えられた5つの関数をそれぞれ微分する問題です。

(1) $f(x) = \frac{3}{4}x^4 - 2x^3 - 2x - \frac{2}{x^3}$

(2) $f(x) = (2x-3)(x^2+5x+2)$

(3) $f(x) = \frac{2}{x^3-3}$

(4) $f(x) = \frac{2x+3}{3x-2}$

(5) $f(x) = \frac{4x-1}{x^2+x+1}$

2. 解き方の手順

(1) 各項を微分します。$\frac{2}{x^3} = 2x^{-3}$ であることに注意します。

$\frac{d}{dx}(\frac{3}{4}x^4) = 3x^3$

$\frac{d}{dx}(-2x^3) = -6x^2$

$\frac{d}{dx}(-2x) = -2$

$\frac{d}{dx}(-2x^{-3}) = 6x^{-4} = \frac{6}{x^4}$

したがって、

$f'(x) = 3x^3 - 6x^2 - 2 + \frac{6}{x^4}$

(2) 積の微分公式を使います。$f(x) = u(x)v(x)$のとき、$f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x)$。

$u(x) = 2x-3, v(x) = x^2+5x+2$ とすると、

$u'(x) = 2, v'(x) = 2x+5$

$f'(x) = 2(x^2+5x+2) + (2x-3)(2x+5) = 2x^2+10x+4 + 4x^2+10x-6x-15 = 6x^2+14x-11$

(3) 合成関数の微分と商の微分公式を使います。

$f(x) = \frac{2}{x^3-3} = 2(x^3-3)^{-1}$

$f'(x) = 2(-1)(x^3-3)^{-2}(3x^2) = -6x^2(x^3-3)^{-2} = \frac{-6x^2}{(x^3-3)^2}$

(4) 商の微分公式を使います。$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$のとき、$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$。

$u(x) = 2x+3, v(x) = 3x-2$ とすると、

$u'(x) = 2, v'(x) = 3$

$f'(x) = \frac{2(3x-2) - (2x+3)(3)}{(3x-2)^2} = \frac{6x-4 - (6x+9)}{(3x-2)^2} = \frac{-13}{(3x-2)^2}$

(5) 商の微分公式を使います。$f(x) = \frac{u(x)}{v(x)}$のとき、$f'(x) = \frac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{v(x)^2}$。

$u(x) = 4x-1, v(x) = x^2+x+1$ とすると、

$u'(x) = 4, v'(x) = 2x+1$

$f'(x) = \frac{4(x^2+x+1) - (4x-1)(2x+1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{4x^2+4x+4 - (8x^2+4x-2x-1)}{(x^2+x+1)^2} = \frac{-4x^2+2x+5}{(x^2+x+1)^2}$

3. 最終的な答え

(1) $f'(x) = 3x^3 - 6x^2 - 2 + \frac{6}{x^4}$

(2) $f'(x) = 6x^2 + 14x - 11$

(3) $f'(x) = \frac{-6x^2}{(x^3-3)^2}$

(4) $f'(x) = \frac{-13}{(3x-2)^2}$

(5) $f'(x) = \frac{-4x^2+2x+5}{(x^2+x+1)^2}$