画像には、2次関数に関する5つの問題があります。ここでは3番目の問題(3)と4番目の問題(4)を解きます。 (3) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ において、$-2 \le x \le 1$ の範囲で最大値が7であるとき、定数 $a$ の値を求め、その時の最小値を求めよ。 (4) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ において、$1 \le x \le 4$ の範囲で最小値が-3であるとき、定数 $a$ の値を求め、その時の最大値を求めよ。

わかりました。画像にある数学の問題を解きます。

1. 問題の内容

画像には、2次関数に関する5つの問題があります。ここでは3番目の問題(3)と4番目の問題(4)を解きます。

(3) 2次関数 $y = x^2 + 2x + 2a$ において、$-2 \le x \le 1$ の範囲で最大値が7であるとき、定数 $a$ の値を求め、その時の最小値を求めよ。

(4) 2次関数 $y = x^2 - 6x + a$ において、$1 \le x \le 4$ の範囲で最小値が-3であるとき、定数 $a$ の値を求め、その時の最大値を求めよ。

2. 解き方の手順

(3)

まず、$y = x^2 + 2x + 2a$ を平方完成します。

$y = (x+1)^2 - 1 + 2a$

これは、頂点が $(-1, -1+2a)$ の下に凸の放物線です。

$-2 \le x \le 1$ の範囲で考えます。軸 $x=-1$ が範囲に含まれるため、頂点で最小値をとる可能性があります。

$x=-2$のとき、$y=(-2)^2+2(-2)+2a=4-4+2a=2a$

$x=1$のとき、$y=1^2+2(1)+2a=1+2+2a=3+2a$

よって、$x=1$の時が最大値となるので、$3+2a = 7$

$2a = 4$

$a = 2$

$a=2$を代入すると、$y=(x+1)^2-1+2(2) = (x+1)^2+3$

最小値は頂点$x=-1$の時の値で、$y=(-1+1)^2+3 = 3$

(4)

まず、$y = x^2 - 6x + a$ を平方完成します。

$y = (x-3)^2 - 9 + a$

これは、頂点が $(3, -9+a)$ の下に凸の放物線です。

$1 \le x \le 4$ の範囲で考えます。軸 $x=3$ が範囲に含まれるため、頂点で最小値をとります。

したがって、$-9 + a = -3$

$a = 6$

$a=6$を代入すると、$y = (x-3)^2 - 9 + 6 = (x-3)^2 - 3$

$x=1$のとき、$y=(1-3)^2 - 3 = 4 - 3 = 1$

$x=4$のとき、$y=(4-3)^2 - 3 = 1 - 3 = -2$

よって、最大値は$x=1$の時の$1$となります。

3. 最終的な答え

(3)

定数 $a$ の値は $2$

最小値は $3$

(4)

定数 $a$ の値は $6$

最大値は $1$