問題は、不定積分 $\int x^2 e^x dx$ を求めることです。

1. 問題の内容

問題は、不定積分 $\int x^2 e^x dx$ を求めることです。

2. 解き方の手順

この積分は、部分積分を2回繰り返すことで解けます。

部分積分の公式は、$\int u dv = uv - \int v du$ です。

ステップ1: 1回目の部分積分

$u = x^2$ と $dv = e^x dx$ とおきます。

すると、$du = 2x dx$ と $v = e^x$ となります。

部分積分の公式を適用すると、

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - \int e^x (2x) dx = x^2 e^x - 2 \int x e^x dx$

ステップ2: 2回目の部分積分

$\int x e^x dx$ を計算します。

$u = x$ と $dv = e^x dx$ とおきます。

すると、$du = dx$ と $v = e^x$ となります。

部分積分の公式を適用すると、

$\int x e^x dx = x e^x - \int e^x dx = x e^x - e^x + C$

ステップ3: 結果を代入

ステップ1の結果にステップ2の結果を代入します。

$\int x^2 e^x dx = x^2 e^x - 2(x e^x - e^x) + C = x^2 e^x - 2x e^x + 2 e^x + C = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$

3. 最終的な答え

$\int x^2 e^x dx = e^x(x^2 - 2x + 2) + C$