初項が $a_1 = 3$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + 1)$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める問題です。

1. 問題の内容

初項が $a_1 = 3$ であり、漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + 1)$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の極限 $\lim_{n \to \infty} a_n$ を求める問題です。

2. 解き方の手順

数列 $\{a_n\}$ の極限が存在すると仮定し、その極限値を $\alpha$ とします。すなわち、$\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ とおきます。

漸化式 $a_{n+1} = \frac{1}{2}(a_n + 1)$ において、$n \to \infty$ の極限をとると、

$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{2}(a_n + 1)$

極限が存在するので、$\lim_{n \to \infty} a_{n+1} = \alpha$ かつ $\lim_{n \to \infty} a_n = \alpha$ となります。したがって、

$\alpha = \frac{1}{2}(\alpha + 1)$

この方程式を解きます。両辺に2をかけると、

$2\alpha = \alpha + 1$

$\alpha = 1$

次に、数列 $\{a_n\}$ が実際にこの極限に収束することを確認します。漸化式を変形します。

$a_{n+1} - 1 = \frac{1}{2}(a_n + 1) - 1 = \frac{1}{2}a_n + \frac{1}{2} - 1 = \frac{1}{2}a_n - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}(a_n - 1)$

したがって、数列 $\{a_n - 1\}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列です。

初項は $a_1 - 1 = 3 - 1 = 2$ です。

したがって、

$a_n - 1 = 2 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$

$a_n = 1 + 2 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$

$n \to \infty$ の極限をとると、

$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left[ 1 + 2 \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} \right] = 1 + 2 \lim_{n \to \infty} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} = 1 + 2 \cdot 0 = 1$

したがって、数列 $\{a_n\}$ の極限は1です。

3. 最終的な答え

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