$a > 0, b > 0$ のとき、不等式 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ を証明し、また等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。

1. 問題の内容

$a > 0, b > 0$ のとき、不等式 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ を証明し、また等号が成り立つのはどのようなときか答えよ。

2. 解き方の手順

まず、$\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ を証明します。

両辺に $ab$ をかけます。$a > 0$ かつ $b > 0$ より、$ab > 0$ なので、不等号の向きは変わりません。

$a^2 + b^2 \geq 2ab$

この式を変形します。

$a^2 - 2ab + b^2 \geq 0$

$(a - b)^2 \geq 0$

$(a - b)^2$ は常に0以上なので、不等式 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ は証明されました。

次に、等号が成り立つ条件を求めます。

等号が成り立つのは、$(a - b)^2 = 0$ のときです。

$(a - b)^2 = 0$ より、 $a - b = 0$ となります。

よって、$a = b$ のとき、等号が成り立ちます。

3. 最終的な答え

不等式 $\frac{a}{b} + \frac{b}{a} \geq 2$ は証明された。等号が成り立つのは $a = b$ のとき。