与えられた式 $x^2 + 5xy + 4y^2 - 3x - 9y + 2$ を因数分解します。

1. 問題の内容

与えられた式 $x^2 + 5xy + 4y^2 - 3x - 9y + 2$ を因数分解します。

2. 解き方の手順

まず、$x^2 + 5xy + 4y^2$ の部分を因数分解します。

これは、$(x + y)(x + 4y)$ と因数分解できます。

次に、与えられた式全体を$(x + y + a)(x + 4y + b)$の形になると仮定して展開します。

$(x + y + a)(x + 4y + b) = x^2 + 4xy + bx + xy + 4y^2 + by + ax + 4ay + ab = x^2 + 5xy + 4y^2 + (a+b)x + (b+4a)y + ab$

この式が $x^2 + 5xy + 4y^2 - 3x - 9y + 2$ と一致するように、$a, b$の値を求めます。

以下の連立方程式が得られます。

$a + b = -3$

$4a + b = -9$

$ab = 2$

上記の連立方程式を解きます。2番目の式から1番目の式を引くと、$3a = -6$となり、$a = -2$ が得られます。

$a = -2$を$a + b = -3$に代入すると、$-2 + b = -3$より、$b = -1$が得られます。

最後に、$ab = (-2)(-1) = 2$となり、これは条件を満たしています。

したがって、$a = -2$, $b = -1$ です。

与えられた式は、$(x + y - 2)(x + 4y - 1)$ と因数分解できます。

3. 最終的な答え

$(x + y - 2)(x + 4y - 1)$