この問題は、2x2行列の行列式を計算する問題と、連立一次方程式の解を判別する問題です。具体的には、まず2つの行列の行列式を計算し、次に2組の連立一次方程式について、係数行列の行列式を計算し、解が一意に定まるかどうかを判定します。

1. 問題の内容

この問題は、2x2行列の行列式を計算する問題と、連立一次方程式の解を判別する問題です。具体的には、まず2つの行列の行列式を計算し、次に2組の連立一次方程式について、係数行列の行列式を計算し、解が一意に定まるかどうかを判定します。

2. 解き方の手順

(1) 行列式の計算

2x2行列の行列式は、以下のように計算します。

$det\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} = ad - bc$

最初の行列の行列式は、

$det\begin{pmatrix} 3 & 2 \\ -10 & 5 \end{pmatrix} = (3)(5) - (2)(-10) = 15 + 20 = 35$

2番目の行列の行列式は、

$det\begin{pmatrix} -2 & 5 \\ 6 & -11 \end{pmatrix} = (-2)(-11) - (5)(6) = 22 - 30 = -8$

(2) 連立一次方程式の解の判定

連立一次方程式の解が一意に定まるかどうかは、係数行列の行列式が0でないかどうかで判定できます。行列式が0でなければ解は一意に定まり、0ならば解は存在しないか、無数に存在します。

最初の連立一次方程式は、

$x - 2y = 0$

$3x + 6y = 0$

係数行列は、

$\begin{pmatrix} 1 & -2 \\ 3 & 6 \end{pmatrix}$

その行列式は、$(1)(6) - (-2)(3) = 6 + 6 = 12$

行列式が0ではないので、解は一意に定まります。

方程式から、$x=2y$であるので、$3(2y)+6y=0$となり、$12y=0$より、$y=0$。したがって、$x=0$。

解は$(x, y) = (0, 0)$。

2番目の連立一次方程式は、

$11x - 10y = 5$

$x - y = 2$

係数行列は、

$\begin{pmatrix} 11 & -10 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$

その行列式は、$(11)(-1) - (-10)(1) = -11 + 10 = -1$

行列式が0ではないので、解は一意に定まります。

2番目の式から、$x = y + 2$。これを最初の式に代入すると、$11(y + 2) - 10y = 5$。よって、$11y + 22 - 10y = 5$。したがって、$y = -17$。

$x = y + 2 = -17 + 2 = -15$

解は$(x, y) = (-15, -17)$。

3. 最終的な答え

行列式の結果：

最初の行列式: 35

2番目の行列式: -8

連立一次方程式の解：

1番目の連立一次方程式の係数行列の行列式：12

1番目の連立一次方程式の解：(0, 0)

2番目の連立一次方程式の係数行列の行列式：-1

2番目の連立一次方程式の解：(-15, -17)