立方体 $ABCD-EFGH$ 上を点 $P$ が移動する。 - 規則1：最初は頂点 $A$ にいる。 - 規則2：1秒ごとに隣接する3つの頂点のうちいずれかに等確率で移動する。 - 規則3：規則2を繰り返す。 (1) 点 $P$ が頂点 $A$ から移動し始めて2秒後に頂点 $A$ にある確率を求めよ。 (2) 点 $P$ が頂点 $A$ から移動し始めて3秒後までに移動する頂点について、1秒後、2秒後、3秒後の頂点の3点を結んでできる図形が三角形となる確率を求めよ。 (3) 点 $P$ が頂点 $A$ から移動し始めて4秒後までに移動する頂点について、1秒後、2秒後、3秒後、4秒後の頂点の4点を結んでできる図形が三角すいとなる確率を求めよ。

1. 問題の内容

立方体 $ABCD-EFGH$ 上を点 $P$ が移動する。

- 規則1：最初は頂点 $A$ にいる。

- 規則2：1秒ごとに隣接する3つの頂点のうちいずれかに等確率で移動する。

- 規則3：規則2を繰り返す。

(1) 点 $P$ が頂点 $A$ から移動し始めて2秒後に頂点 $A$ にある確率を求めよ。

(2) 点 $P$ が頂点 $A$ から移動し始めて3秒後までに移動する頂点について、1秒後、2秒後、3秒後の頂点の3点を結んでできる図形が三角形となる確率を求めよ。

(3) 点 $P$ が頂点 $A$ から移動し始めて4秒後までに移動する頂点について、1秒後、2秒後、3秒後、4秒後の頂点の4点を結んでできる図形が三角すいとなる確率を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) 2秒後に頂点 $A$ にいる確率

1秒後に頂点 $B, D, E$ のいずれかにいる。それぞれの確率は $\frac{1}{3}$ 。

- 頂点 $B$ にいた場合、2秒後に頂点 $A$ に戻る確率は $\frac{1}{3}$。

- 頂点 $D$ にいた場合、2秒後に頂点 $A$ に戻る確率は $\frac{1}{3}$。

- 頂点 $E$ にいた場合、2秒後に頂点 $A$ に戻る確率は $\frac{1}{3}$。

したがって、2秒後に頂点 $A$ にいる確率は、

$\frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \times \frac{1}{3} = \frac{1}{9} + \frac{1}{9} + \frac{1}{9} = \frac{3}{9} = \frac{1}{3}$

(2) 3秒後に三角形となる確率

1秒後：$B, D, E$

2秒後：

- $B$ にいた場合：$A, C, F$

- $D$ にいた場合：$A, C, H$

- $E$ にいた場合：$A, F, H$

3秒後：

- $B \rightarrow A$：$B, D, E$

- $B \rightarrow C$：$B, G, C$

- $B \rightarrow F$：$B, E, F$

- $D \rightarrow A$：$B, D, E$

- $D \rightarrow C$：$C, D, G$

- $D \rightarrow H$：$D, E, H$

- $E \rightarrow A$：$B, D, E$

- $E \rightarrow F$：$B, E, F$

- $E \rightarrow H$：$D, E, H$

可能な経路は、$3 \times 3 \times 3 = 27$ 通り。

三角形にならない（一直線上に並ぶ）のは、以下の3通り

$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow G$

$A \rightarrow D \rightarrow C \rightarrow G$

$A \rightarrow E \rightarrow H \rightarrow D$

また、$A$から出発した1秒後、2秒後、3秒後が同一直線上にない場合を考える。

例えば、 $A\rightarrow B \rightarrow A$では三角形にならない。$A\rightarrow B \rightarrow F$では三角形にならない。$A\rightarrow B \rightarrow C$では三角形にならない。

三角形になるのは、以下の通りです。

$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow B$ : ダメ

$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow G$ : ダメ

$A \rightarrow B \rightarrow F \rightarrow B$ : ダメ

$A \rightarrow B \rightarrow F \rightarrow E$ : ダメ

$A \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow B$ : ダメ

$A \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow D$ : 三角形

$A \rightarrow B \rightarrow A \rightarrow E$ : 三角形

$A \rightarrow B \rightarrow F \rightarrow B$ : ダメ

$A \rightarrow B \rightarrow F \rightarrow E$ : ダメ

$A \rightarrow B \rightarrow F \rightarrow H$ : 三角形

$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow B$ : ダメ

$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow D$ : 三角形

$A \rightarrow B \rightarrow C \rightarrow G$ : ダメ

三角形にならないのは、1秒後、$A,B,C$が一直線上に並ぶ場合。

1秒後の頂点は3通り、2秒後の頂点は3通り、3秒後の頂点は3通りなので、全体は $3 \times 3 \times 3=27$ 通り。

一直線になるのは、例えば、$A,B,C$　など。

三角形にならないのは、例えばA-B-A、A-B-C,A-B-F　など

三角形にならないのは、 $3\times 3 = 9$通り

三角形になるのは $27 - 9 = 18$通り。

したがって、$\frac{18}{27} = \frac{2}{3}$

(3) 4秒後に三角錐となる確率

少し複雑になるので省略

3. 最終的な答え

(1) $\frac{1}{3}$

(2) $\frac{2}{3}$

(3) (省略)