与えられた微分方程式 $y' = (1-y)^2$ を変数分離形として解く問題です。

1. 問題の内容

与えられた微分方程式 $y' = (1-y)^2$ を変数分離形として解く問題です。

2. 解き方の手順

まず、$y' = \frac{dy}{dx}$ と書き換えます。

$\frac{dy}{dx} = (1-y)^2$

次に、変数を分離します。つまり、$y$ の関数を左辺に、$x$ の関数を右辺に集めます。

$\frac{dy}{(1-y)^2} = dx$

両辺を積分します。

$\int \frac{dy}{(1-y)^2} = \int dx$

左辺の積分は、$u = 1-y$ と置換することで計算できます。$du = -dy$ より、

$\int \frac{dy}{(1-y)^2} = \int \frac{-du}{u^2} = \int -u^{-2} du = -(-u^{-1}) = \frac{1}{u} = \frac{1}{1-y}$

右辺の積分は、

$\int dx = x + C$

ここで、$C$ は積分定数です。

したがって、

$\frac{1}{1-y} = x + C$

これを $y$ について解きます。

$1 = (1-y)(x+C)$

$1 = x+C - y(x+C)$

$y(x+C) = x+C-1$

$y = \frac{x+C-1}{x+C} = \frac{x+C}{x+C} - \frac{1}{x+C} = 1 - \frac{1}{x+C}$

3. 最終的な答え

$y = 1 - \frac{1}{x+C}$