次の式の値を計算する問題です。 $\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3}-1}$

1. 問題の内容

次の式の値を計算する問題です。

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3}-1}$

2. 解き方の手順

各項を有理化します。

第1項：

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} = \frac{\sqrt{3}(\sqrt{2}+1)}{(\sqrt{2}-1)(\sqrt{2}+1)} = \frac{\sqrt{6}+\sqrt{3}}{2-1} = \sqrt{6}+\sqrt{3}$

第2項：

$\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(\sqrt{3}-\sqrt{2})}{(\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})} = \frac{\sqrt{6}-2}{3-2} = \sqrt{6}-2$

第3項：

$\frac{2}{\sqrt{3}-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{3-1} = \frac{2(\sqrt{3}+1)}{2} = \sqrt{3}+1$

したがって、

$\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{2}-1} - \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}} - \frac{2}{\sqrt{3}-1} = (\sqrt{6}+\sqrt{3}) - (\sqrt{6}-2) - (\sqrt{3}+1) = \sqrt{6}+\sqrt{3} - \sqrt{6}+2 - \sqrt{3}-1 = 1$

3. 最終的な答え

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