放物線 $y = 2x^2 - 3x$ と直線 $y = 5x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

1. 問題の内容

放物線 $y = 2x^2 - 3x$ と直線 $y = 5x + k$ が共有点を持つような定数 $k$ の値の範囲を求める。

2. 解き方の手順

放物線と直線が共有点を持つ条件は、それらの式を連立した方程式が実数解を持つことである。

まず、2つの式を連立させる。

$2x^2 - 3x = 5x + k$

この式を整理して、$x$ に関する2次方程式にする。

$2x^2 - 8x - k = 0$

この2次方程式が実数解を持つための条件は、判別式 $D$ が $D \ge 0$ であることである。

判別式 $D$ は、$D = b^2 - 4ac$ で求められる。この2次方程式では、$a = 2$, $b = -8$, $c = -k$ である。

したがって、

$D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-k) = 64 + 8k$

$D \ge 0$ であるから、

$64 + 8k \ge 0$

この不等式を解いて、$k$ の範囲を求める。

$8k \ge -64$

$k \ge -8$

3. 最終的な答え

$k \ge -8$