与えられた問題は、場合の数と確率に関する6つの小問から構成されています。 (1) 6人の生徒を1列に並べる場合の数を求めます。 (2) 6人の生徒を3人、2人、1人の3組に分ける場合の数を求めます。 (3) 6人の生徒から委員長、副委員長、書記を1人ずつ選出する方法の数を求めます。 (4) 大小2個のサイコロを同時に投げたとき、出た目の積が12となる確率を求めます。 (5) 5本のくじの中に2本の当たりくじがあるとき、2本のくじを同時に引いて1本が当たり、もう1本が外れる確率を求めます。 (6) 10本のくじの中に3本の当たりくじがあるとき、3本のくじを同時に引いて3本とも当たる確率を求めます。

1. 問題の内容

与えられた問題は、場合の数と確率に関する6つの小問から構成されています。

(1) 6人の生徒を1列に並べる場合の数を求めます。

(2) 6人の生徒を3人、2人、1人の3組に分ける場合の数を求めます。

(3) 6人の生徒から委員長、副委員長、書記を1人ずつ選出する方法の数を求めます。

(4) 大小2個のサイコロを同時に投げたとき、出た目の積が12となる確率を求めます。

(5) 5本のくじの中に2本の当たりくじがあるとき、2本のくじを同時に引いて1本が当たり、もう1本が外れる確率を求めます。

(6) 10本のくじの中に3本の当たりくじがあるとき、3本のくじを同時に引いて3本とも当たる確率を求めます。

2. 解き方の手順

(1) 6人の生徒を1列に並べる場合の数は、6の階乗で計算されます。

$6! = 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 720$

(2) 6人の生徒を3人、2人、1人の3組に分ける場合の数は、組み合わせの考え方を使います。

まず、6人から3人を選ぶ場合の数は $_6C_3 = \frac{6!}{3!3!} = \frac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20$通りです。

次に、残りの3人から2人を選ぶ場合の数は $_3C_2 = \frac{3!}{2!1!} = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通りです。

最後に、残りの1人は1通りです。

したがって、6人の生徒を3人、2人、1人の3組に分ける場合の数は $20 \times 3 \times 1 = 60$通りです。

(3) 6人の生徒から委員長、副委員長、書記を1人ずつ選出する方法の数は、順列の考え方を使います。

委員長の選び方は6通り、副委員長の選び方は残りの5通り、書記の選び方は残りの4通りです。

したがって、$6 \times 5 \times 4 = 120$通りです。

(4) 大小2個のサイコロを同時に投げたとき、出た目の積が12となるのは、(2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2) の4通りです。

サイコロの目の出方は全部で $6 \times 6 = 36$通りなので、確率は $\frac{4}{36} = \frac{1}{9}$です。

(5) 5本のくじの中に2本の当たりくじがあるとき、2本のくじを同時に引いて1本が当たり、もう1本が外れる確率は、

$\frac{_2C_1 \times _3C_1}{_5C_2} = \frac{2 \times 3}{\frac{5 \times 4}{2 \times 1}} = \frac{6}{10} = \frac{3}{5}$です。

(6) 10本のくじの中に3本の当たりくじがあるとき、3本のくじを同時に引いて3本とも当たる確率は、

$\frac{_3C_3}{_{10}C_3} = \frac{1}{\frac{10 \times 9 \times 8}{3 \times 2 \times 1}} = \frac{1}{120}$です。

3. 最終的な答え

(1) 720

(2) 60

(3) 120

(4) $\frac{1}{9}$

(5) $\frac{3}{5}$

(6) $\frac{1}{120}$