1から8までの数字が書かれた8個の玉がある。これらの玉から2個ずつ選び、箱A、箱B、箱Cに入れる。 (1) 箱Aに入れる玉の選び方の総数を求める。 (2) 3つの箱への玉の入れ方の総数を求める。さらに、箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉のみを、箱Cには6以上の数字が書かれた玉のみを入れるような入れ方の総数を求める。 (3) 箱A, B, Cに入れる2つの玉の数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方の総数を求める。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方の総数を求める。

1. 問題の内容

1から8までの数字が書かれた8個の玉がある。これらの玉から2個ずつ選び、箱A、箱B、箱Cに入れる。

(1) 箱Aに入れる玉の選び方の総数を求める。

(2) 3つの箱への玉の入れ方の総数を求める。さらに、箱Aと箱Bには5以下の数字が書かれた玉のみを、箱Cには6以上の数字が書かれた玉のみを入れるような入れ方の総数を求める。

(3) 箱A, B, Cに入れる2つの玉の数の和をそれぞれa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方の総数を求める。また、a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となるような入れ方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) 箱Aに入れる玉の選び方

8個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を用いる。

$_8C_2 = \frac{8!}{2!6!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$

(2) 3つの箱への玉の入れ方

まず、8個の玉から箱Aに入れる2個を選ぶ($_8C_2$)。

次に、残りの6個の玉から箱Bに入れる2個を選ぶ($_6C_2$)。

最後に、残りの4個の玉から箱Cに入れる2個を選ぶ($_4C_2$)。

それぞれの選び方を掛け合わせる。

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 28 \times 15 \times 6 = 2520$

ただし、箱A, B, Cの区別がないので、3!で割る必要がある。（この問題では、箱A,B,Cの区別があるので割る必要はない）

したがって、入れ方は2520通り。

箱Aと箱Bに5以下の数、箱Cに6以上の数を入れる場合。

5以下の数は1,2,3,4,5の5つ。6以上の数は6,7,8の3つ。

箱A, 箱Bには5以下の数から2つずつ選ぶ。箱Cには6以上の数から2つを選ぶ。

箱Aの選び方：$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$

箱Bの選び方：残りの3つから2つ選ぶので、$_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

箱Cの選び方：$_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$

箱A, 箱B, 箱Cへの入れ方は $10 \times 3 \times 3 = 90$通り。

(3) a, b, cがすべて偶数となる入れ方

a, b, cはそれぞれ箱A, B, Cに入れる玉の数の和である。この和が全て偶数になるには、各箱に入れる2つの玉の組み合わせが(偶数,偶数)または(奇数,奇数)でなければならない。

1~8の中で偶数は2,4,6,8の4つ、奇数は1,3,5,7の4つ。

(i) 全ての箱が偶数+偶数の場合: 箱Aの選び方は$_4C_2 = 6通り。箱Bの選び方は$_2C_2 = 1通り。箱Cは自動的に決まるので1通り。よって$6\times1\times1=6$通り。

(ii) 全ての箱が奇数+奇数の場合: 箱Aの選び方は$_4C_2 = 6通り。箱Bの選び方は$_2C_2 = 1通り。箱Cは自動的に決まるので1通り。よって$6\times1\times1=6$通り。

(iii) 2箱が偶数+偶数、1箱が奇数+奇数の場合：これはありえない。4つの偶数と4つの奇数しかないので。箱A, Bが偶数+偶数の場合、箱Cに奇数+奇数を入れられない。

(iv) 2箱が奇数+奇数、1箱が偶数+偶数の場合：これも同様にありえない。

a,b,cがすべて偶数となる入れ方は $6 + 6 = 12$ 通り。

a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となる入れ方

全体の入れ方からa,b,cがすべて奇数となる入れ方を引けば良い。a,b,cがすべて奇数になることはない。

2つの数の和が奇数になるのは、（偶数＋奇数）の組み合わせの時である。

全体の入れ方は (2) で求めた2520通り。

a,b,cがすべて奇数になるケースはないため、少なくとも1つが偶数となる入れ方は、2520通り。

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 2520通り, 90通り

(3) 12通り, 2520通り