8個の玉に1から8までの数字が書かれている。 (1) 箱Aに2個、箱Bに2個、箱Cに2個の玉を入れる場合の総数を求める。 (2) 3つの箱への玉の入れ方の総数と、箱Aと箱Bに5以下の数が書かれた玉だけを入れ、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方の総数を求める。 (3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順にa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方の総数と、a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となるような入れ方の総数を求める。

1. 問題の内容

8個の玉に1から8までの数字が書かれている。

(1) 箱Aに2個、箱Bに2個、箱Cに2個の玉を入れる場合の総数を求める。

(2) 3つの箱への玉の入れ方の総数と、箱Aと箱Bに5以下の数が書かれた玉だけを入れ、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方の総数を求める。

(3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順にa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方の総数と、a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となるような入れ方の総数を求める。

2. 解き方の手順

(1) まず、箱Aに入れる2個の玉の選び方は $_8C_2$ 通り。次に、残りの6個から箱Bに入れる2個の玉の選び方は $_6C_2$ 通り。最後に、残りの4個から箱Cに入れる2個の玉の選び方は $_4C_2$ 通り。したがって、箱A, B, Cに玉を入れる場合の総数は、

$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} \times \frac{6 \times 5}{2 \times 1} \times \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 28 \times 15 \times 6 = 2520$ 通り。ただし、箱A, B, Cの区別はないので、同じ組合わせが重複して数えられている。箱A, B, Cの並び順を考慮しない場合は、この総数を3! = 6で割る必要があるが、問題文では特に言及がないので、ここでは区別があるものとして考える。

(2) 3つの箱への玉の入れ方は(1)で求めた2520通り。

次に、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れる場合を考える。

1から5までの数字が書かれた玉は5個、6から8までの数字が書かれた玉は3個である。

箱Aに入れる2個の玉は1から5の中から選ぶので、$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$ 通り。

箱Bに入れる2個の玉も1から5の中から選ぶ。箱Aで2個選んだ後、残りの3個から2個を選ぶので、$_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

箱Cに入れる2個の玉は6から8の中から選ぶので、$_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$ 通り。

この入れ方の総数は $10 \times 3 \times 3 = 90$ 通り。

(3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順にa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方を考える。

2つの数の和が偶数となるのは、2つの数がともに偶数か、ともに奇数の場合である。

1から8までの数字のうち、偶数は2, 4, 6, 8の4個、奇数は1, 3, 5, 7の4個である。

a, b, cがすべて偶数となるのは、箱A, B, Cに入れる玉の組み合わせが、(偶数, 偶数), (偶数, 偶数), (偶数, 偶数) または (奇数, 奇数), (奇数, 奇数), (奇数, 奇数)の場合である。

まず、箱Aに偶数の玉2個を選ぶ方法は $_4C_2 = 6$通り。箱Bに偶数の玉2個を選ぶ方法は $_2C_2 = 1$通り。箱Cに偶数の玉2個を選ぶ方法は$_0C_2=0$通り。箱A, B, Cの選び方で６通りの選び方がある。

次に、箱Aに奇数の玉2個を選ぶ方法は $_4C_2 = 6$通り。箱Bに奇数の玉2個を選ぶ方法は $_2C_2 = 1$通り。箱Cに奇数の玉2個を選ぶ方法は$_0C_2=0$通り。

a,b,cがすべて偶数であることはない.

箱Aに入れる２つの玉の和aが偶数となるのは、２つの玉がともに偶数か、ともに奇数である場合.

箱Aに入れる2つの玉の組み合わせが (偶数、偶数) の場合は $_4C_2 = 6$通り。その和は偶数。

箱Aに入れる2つの玉の組み合わせが (奇数、奇数) の場合は $_4C_2 = 6$通り。その和は偶数。

箱Aに入れる2つの玉の組み合わせが (奇数、偶数) の場合は $_4C_1 \times _4C_1 = 16$通り。その和は奇数。

a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となる場合は、a, b, cがすべて奇数となる場合以外である。

a, b, cがすべて奇数となる場合の数を求める。

a, b, cがすべて奇数となるのは、箱A, B, Cにそれぞれ奇数と偶数が1つずつ入る場合。

箱Aに入れる玉の選び方が (奇数, 偶数) の場合、箱Bに入れる玉の選び方が (奇数, 偶数) の場合、箱Cに入れる玉の選び方が (奇数, 偶数) の場合。

この選び方は $16 \times 16 \times 0=0$通り。

すべての選び方から、a, b, cがすべて奇数となる場合を除けば良い。

すべての組み合わせは $2520$.

すべて奇数になる場合は$0$通り.

3. 最終的な答え

(1) 2520通り

(2) 2520通り、90通り

(3) 0通り、2520通り