箱A, B, Cそれぞれに2個の玉を入れる。各箱に入れた玉に書かれた数の和をそれぞれa, b, cとする。 (1) a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。 (2) a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。 ただし、元の画像には問題の前提となる情報(玉の種類や数)が書かれていないので、ここでは以下の前提で問題を解く。 - 玉の種類：1から6までの整数が書かれた玉がそれぞれ1つずつ、合計6個ある。 - 各箱には必ず2個の玉を入れる。

1. 問題の内容

箱A, B, Cそれぞれに2個の玉を入れる。各箱に入れた玉に書かれた数の和をそれぞれa, b, cとする。

(1) a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。

(2) a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

ただし、元の画像には問題の前提となる情報(玉の種類や数)が書かれていないので、ここでは以下の前提で問題を解く。

- 玉の種類：1から6までの整数が書かれた玉がそれぞれ1つずつ、合計6個ある。

- 各箱には必ず2個の玉を入れる。

2. 解き方の手順

(1) a, b, cがすべて偶数になる場合について考える。

- 2つの玉の和が偶数になるのは、2つの玉がどちらも偶数か、どちらも奇数の場合である。

- 1から6の整数の中で、偶数は2, 4, 6の3つ、奇数は1, 3, 5の3つである。

- 箱A, B, Cに入れる玉の組み合わせは、以下のいずれかである。

- (偶数, 偶数), (偶数, 偶数), (偶数, 偶数)

- (偶数, 偶数), (偶数, 偶数), (奇数, 奇数)

- (偶数, 偶数), (奇数, 奇数), (偶数, 偶数)

- (偶数, 偶数), (奇数, 奇数), (奇数, 奇数)

- (奇数, 奇数), (偶数, 偶数), (偶数, 偶数)

- (奇数, 奇数), (偶数, 偶数), (奇数, 奇数)

- (奇数, 奇数), (奇数, 奇数), (偶数, 偶数)

- (奇数, 奇数), (奇数, 奇数), (奇数, 奇数)

- まず、(偶数,偶数)の組み合わせの場合の数を考える。3つの偶数から2つを選ぶ組み合わせなので、$_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。

- 次に、(奇数,奇数)の組み合わせの場合の数を考える。3つの奇数から2つを選ぶ組み合わせなので、$_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。

- (偶数,偶数), (偶数,偶数), (偶数,偶数)の場合、3つの箱への入れ方は、$3 \times 3 \times 3 = 27$通り。

- (奇数,奇数), (奇数,奇数), (奇数,奇数)の場合、3つの箱への入れ方は、$3 \times 3 \times 3 = 27$通り。

- (偶数,偶数), (偶数,偶数), (奇数,奇数)の場合、箱Cに入れるものを(奇数,奇数)とする。箱Aと箱Bに入れる(偶数,偶数)の選び方は、$3 \times 3 = 9$通り。箱に入れる順番を考慮すると、3つの箱への入れ方は、$3 \times 9 \times 3 = 81$通り。

- どの箱に入れるかで場合分けし、３倍すると、 $3 \times 81 = 243$通り。

- したがって、すべて偶数となるのは $27 + 27 + 243 = 297$通り。

(2) 少なくとも1つが偶数になる場合について考える。

- 全体の場合の数から、すべて奇数になる場合を引けばよい。

- 全体の場合の数は、6個の玉から2個を選び、それを3つの箱に入れる場合の数なので、

- 最初の箱Aに入れる玉の組み合わせは、$_6C_2 = \frac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15$通り。

- 次の箱Bに入れる玉の組み合わせは、残りの4個から2個を選ぶので、$_4C_2 = \frac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6$通り。

- 最後の箱Cに入れる玉の組み合わせは、残りの2個から2個を選ぶので、$_2C_2 = 1$通り。

- したがって、全体の場合の数は、$15 \times 6 \times 1 = 90$通り。

- しかし、この計算では、箱A,B,Cの区別を考慮していない。

- 正しくは、それぞれの箱に入れる玉の組み合わせを計算し、箱の入れ替えを考慮する。

- それぞれの箱に入れる玉の組み合わせは、$15, 6, 1$なので、箱の入れ替えを考慮すると、$_3P_3 = 3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$通りある。

- 全体の場合の数は、$15 \times 6 \times 1 / 6 = 15$通り。

- a, b, cがすべて奇数になるのは、奇数の玉3個から2個ずつ選ぶことは不可能なので0通り。

- a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となる入れ方は、全体の場合の数からすべて奇数の場合を引けばよいので、$90 - 27 = 63$通り。

3. 最終的な答え

(1) a, b, cがすべて偶数となる入れ方は 297通り

(2) a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となる入れ方は 63通り