8個の玉があり、それぞれに1から8までの数字が1つずつ書かれている。 これらの玉から2個を選んで箱Aに入れ、次に残りの玉から2個を選んで箱Bに入れ、最後に残りの玉から2個を選んで箱Cに入れる。 (1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りあるか。 (2) 3つの箱への玉の入れ方は何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方は何通りあるか。 (3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順にa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

1. 問題の内容

8個の玉があり、それぞれに1から8までの数字が1つずつ書かれている。

これらの玉から2個を選んで箱Aに入れ、次に残りの玉から2個を選んで箱Bに入れ、最後に残りの玉から2個を選んで箱Cに入れる。

(1) 箱Aに入れる玉の選び方は何通りあるか。

(2) 3つの箱への玉の入れ方は何通りあるか。また、箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけを、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れるような入れ方は何通りあるか。

(3) 箱A, B, Cそれぞれに入れる2個の玉に書かれた数の和を順にa, b, cとする。a, b, cがすべて偶数となるような入れ方は何通りあるか。また、a, b, cのうち、少なくとも1つが偶数となるような入れ方は何通りあるか。

2. 解き方の手順

(1) 箱Aに入れる玉の選び方

8個の玉から2個を選ぶ組み合わせなので、組み合わせの公式を用いる。

$_8C_2 = \frac{8!}{2!(8-2)!} = \frac{8 \times 7}{2 \times 1} = 28$通り。

(2) 3つの箱への玉の入れ方

まず、箱Aに入れる玉の選び方は$_8C_2$通り。

次に、残りの6個の玉から箱Bに入れる玉を選ぶので、$_6C_2$通り。

最後に、残りの4個の玉から箱Cに入れる玉を選ぶので、$_4C_2$通り。

したがって、3つの箱への玉の入れ方は、$_8C_2 \times _6C_2 \times _4C_2 = 28 \times 15 \times 6 = 2520$通り。

箱Aと箱Bには5以下の数が書かれた玉だけ、箱Cには6以上の数が書かれた玉だけを入れる場合。

5以下の数は1, 2, 3, 4, 5の5個、6以上の数は6, 7, 8の3個である。

この条件を満たすには、箱Aと箱Bには5以下の玉が2個ずつ、箱Cには6以上の玉が2個入る必要がある。

しかし、箱Aと箱Bに入れる玉は2個ずつなので、5以下の数から2個を選び箱Aへ入れ、残りの5以下の数から2個を選び箱Bへ入れなければならない。箱Cには6以上の数から2個選ぶ必要がある。

箱Aに入れる玉の選び方は、$_5C_2 = \frac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10$通り。

箱Bに入れる玉の選び方は、残りの3個から2個を選ぶので、$_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。

箱Cに入れる玉の選び方は、$_3C_2 = \frac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3$通り。

この条件を満たす入れ方は、$10 \times 3 \times 3 = 90$通り。

(3) a, b, cがすべて偶数となる入れ方

2つの数の和が偶数になるのは、2つとも偶数または2つとも奇数の場合である。

偶数の玉は2, 4, 6, 8の4個、奇数の玉は1, 3, 5, 7の4個。

a, b, cがすべて偶数となるには、A, B, Cに入れる2個の玉が、(偶数2個), (偶数2個), (偶数2個) か、(奇数2個), (奇数2個), (奇数2個)のいずれかの場合にのみ成り立つ。

(i) A, B, Cすべてに偶数の玉が入る場合

A, B, Cに入れる玉はすべて偶数である必要がある。

箱Aに入れる玉の選び方は、$_4C_2 = 6$通り。

箱Bに入れる玉の選び方は、残りの2個から2個を選ぶので、$_2C_2 = 1$通り。

箱Cに入れる玉の選び方は、$_0C_2 = 0$通り。

よって0通り。

(ii) A, B, Cすべてに奇数の玉が入る場合

箱Aに入れる玉の選び方は、$_4C_2 = 6$通り。

箱Bに入れる玉の選び方は、残りの2個から2個を選ぶので、$_2C_2 = 1$通り。

箱Cに入れる玉の選び方は、$_0C_2 = 0$通り。

よって0通り。

a, b, cがすべて偶数となる入れ方は、$6 \times 1 = 6$通り。

a, b, cのうち少なくとも1つが偶数となる入れ方

a, b, cがすべて奇数となる入れ方を全体から引けばよい。

aが奇数となるのは、Aに奇数と奇数を選ぶ時のみ。

bが奇数となるのは、Bに奇数と奇数を選ぶ時のみ。

cが奇数となるのは、Cに奇数と奇数を選ぶ時のみ。

全体からa, b, cがすべて奇数となる場合を除けば良い。

全体は2520通り。

a, b, cすべてが奇数になるのは0通り。

よって、少なくとも1つが偶数になるのは、2520 - 0 = 2520通り。

3. 最終的な答え

(1) 28通り

(2) 2520通り、90通り

(3) 6通り、2520通り