傾き45°のなめらかな斜面の下端にばね定数49N/mの軽いばねの一端をつけ、他端に質量0.20kgのおもりをつけて斜面で静止させた。重力加速度の大きさを9.8m/s²とする。 (1) おもりが受ける弾性力の大きさ $F$ [N], 垂直抗力の大きさ $N$ [N]を求めよ。 (2) ばねの自然の長さからの縮み $x$ [cm] を求めよ。

1. 問題の内容

傾き45°のなめらかな斜面の下端にばね定数49N/mの軽いばねの一端をつけ、他端に質量0.20kgのおもりをつけて斜面で静止させた。重力加速度の大きさを9.8m/s²とする。

(1) おもりが受ける弾性力の大きさ $F$ [N], 垂直抗力の大きさ $N$ [N]を求めよ。

(2) ばねの自然の長さからの縮み $x$ [cm] を求めよ。

2. 解き方の手順

(1) おもりに働く力を考える。重力、垂直抗力、弾性力がある。

重力を斜面に平行な方向と垂直な方向に分解する。

斜面に平行な方向の力のつり合いより、弾性力の大きさを求める。

斜面に垂直な方向の力のつり合いより、垂直抗力の大きさを求める。

重力は$mg$ であり、$m=0.20$ kg, $g=9.8$ m/s²なので、$mg = 0.20 \times 9.8 = 1.96$ N

斜面に平行な重力の成分は $mg \sin{45^\circ}$である。

斜面に垂直な重力の成分は $mg \cos{45^\circ}$である。

斜面に平行な方向の力のつり合いより

$F = mg \sin{45^\circ} = 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1.96 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.98 \sqrt{2}$ N

斜面に垂直な方向の力のつり合いより

$N = mg \cos{45^\circ} = 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{2}} = 1.96 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 0.98 \sqrt{2}$ N

(2) ばねの縮みを求める。

ばねの弾性力は $F = kx$ で表される。$k$はばね定数、$x$はばねの縮みである。

(1)で求めた弾性力 $F$ とばね定数 $k = 49$ N/m を用いて、ばねの縮みを求める。

$x = \frac{F}{k} = \frac{0.98\sqrt{2}}{49} = \frac{0.02\sqrt{2}}{1} = 0.02\sqrt{2}$ m

問題文で縮み $x$ は[cm]単位で求められているので、$x = 0.02\sqrt{2} \times 100 = 2\sqrt{2}$ cm

3. 最終的な答え

(1) $F = 0.98\sqrt{2}$ N, $N = 0.98\sqrt{2}$ N

(2) $x = 2\sqrt{2}$ cm