三角形ABCにおいて、$a=6$, $c=3\sqrt{2}$, $A=135^\circ$であるとき、角Cの大きさを求めよ。

1. 問題の内容

三角形ABCにおいて、$a=6$, $c=3\sqrt{2}$, $A=135^\circ$であるとき、角Cの大きさを求めよ。

2. 解き方の手順

まず、正弦定理を用いて角Cの正弦(sin)を求めます。正弦定理は、

$\frac{a}{\sin A} = \frac{c}{\sin C}$

で表されます。

この式に与えられた値を代入すると、

$\frac{6}{\sin 135^\circ} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$

となります。

ここで、$\sin 135^\circ = \sin (180^\circ - 45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$であるので、

$\frac{6}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$

整理すると、

$\frac{12}{\sqrt{2}} = \frac{3\sqrt{2}}{\sin C}$

$\sin C = \frac{3\sqrt{2}\cdot\sqrt{2}}{12} = \frac{3\cdot2}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

したがって、$\sin C = \frac{1}{2}$となります。

$0^\circ < C < 180^\circ$の範囲で$\sin C = \frac{1}{2}$を満たす角Cは、$C = 30^\circ$または$C = 150^\circ$です。

もし$C = 150^\circ$だとすると、$A + C = 135^\circ + 150^\circ = 285^\circ > 180^\circ$となり、三角形の内角の和が180度を超えるため、$C = 150^\circ$は不適です。したがって、$C = 30^\circ$となります。

3. 最終的な答え

$C = 30^\circ$