2つの変量 $x$ と $y$ のデータが与えられています。これらのデータについて、散布図を描き、$x$ と $y$ の間に相関関係があるかどうかを調べ、相関関係がある場合は、正の相関か負の相関かを答える問題です。

1. 問題の内容

2つの変量 $x$ と $y$ のデータが与えられています。これらのデータについて、散布図を描き、$x$ と $y$ の間に相関関係があるかどうかを調べ、相関関係がある場合は、正の相関か負の相関かを答える問題です。

2. 解き方の手順

散布図を手で描くことはできませんので、相関係数を計算することで相関関係を判断します。相関係数は、2つの変数の関係の強さを-1から+1の間の値で表します。

相関係数は以下の式で計算できます。

$r = \frac{S_{xy}}{ \sqrt{S_{xx} S_{yy}}}$

ここで、

$S_{xy} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})(y_i - \bar{y})$

$S_{xx} = \sum_{i=1}^{n} (x_i - \bar{x})^2$

$S_{yy} = \sum_{i=1}^{n} (y_i - \bar{y})^2$

$\bar{x}$ は $x$ の平均値、$\bar{y}$ は $y$ の平均値です。

$n$ はデータの数です。

まず、平均値$\bar{x}$と$\bar{y}$を計算します。

$\bar{x} = \frac{43+39+51+27+65+24+62+33+56+48}{10} = \frac{448}{10} = 44.8$

$\bar{y} = \frac{59+62+84+53+76+48+83+47+65+72}{10} = \frac{649}{10} = 64.9$

次に、$S_{xy}$, $S_{xx}$, $S_{yy}$ を計算します。

$S_{xy} = (43-44.8)(59-64.9) + (39-44.8)(62-64.9) + (51-44.8)(84-64.9) + (27-44.8)(53-64.9) + (65-44.8)(76-64.9) + (24-44.8)(48-64.9) + (62-44.8)(83-64.9) + (33-44.8)(47-64.9) + (56-44.8)(65-64.9) + (48-44.8)(72-64.9)$

$= (-1.8)(-5.9) + (-5.8)(-2.9) + (6.2)(19.1) + (-17.8)(-11.9) + (20.2)(11.1) + (-20.8)(-16.9) + (17.2)(18.1) + (-11.8)(-17.9) + (11.2)(0.1) + (3.2)(7.1)$

$= 10.62 + 16.82 + 118.42 + 211.82 + 224.22 + 351.52 + 311.32 + 211.22 + 1.12 + 22.72 = 1479.8$

$S_{xx} = (43-44.8)^2 + (39-44.8)^2 + (51-44.8)^2 + (27-44.8)^2 + (65-44.8)^2 + (24-44.8)^2 + (62-44.8)^2 + (33-44.8)^2 + (56-44.8)^2 + (48-44.8)^2$

$= (-1.8)^2 + (-5.8)^2 + (6.2)^2 + (-17.8)^2 + (20.2)^2 + (-20.8)^2 + (17.2)^2 + (-11.8)^2 + (11.2)^2 + (3.2)^2$

$= 3.24 + 33.64 + 38.44 + 316.84 + 408.04 + 432.64 + 295.84 + 139.24 + 125.44 + 10.24 = 1803.6$

$S_{yy} = (59-64.9)^2 + (62-64.9)^2 + (84-64.9)^2 + (53-64.9)^2 + (76-64.9)^2 + (48-64.9)^2 + (83-64.9)^2 + (47-64.9)^2 + (65-64.9)^2 + (72-64.9)^2$

$= (-5.9)^2 + (-2.9)^2 + (19.1)^2 + (-11.9)^2 + (11.1)^2 + (-16.9)^2 + (18.1)^2 + (-17.9)^2 + (0.1)^2 + (7.1)^2$

$= 34.81 + 8.41 + 364.81 + 141.61 + 123.21 + 285.61 + 327.61 + 320.41 + 0.01 + 50.41 = 1656.9$

$r = \frac{1479.8}{\sqrt{1803.6 * 1656.9}} = \frac{1479.8}{\sqrt{2988039.24}} = \frac{1479.8}{1728.595} \approx 0.856$

相関係数 $r \approx 0.856$ は、1に近いため、強い正の相関があると言えます。

3. 最終的な答え

相関関係がある。正の相関。