与えられた4つの式を展開する問題です。 (1) $(x+2y-z)^2$ (2) $(x^2-x+13)(x^2-x-8)$ (3) $(a+2)^2(a-2)^2$ (4) $(x+3)^3-(x-3)(x^2+3x+9)$

1. 問題の内容

与えられた4つの式を展開する問題です。

(1) $(x+2y-z)^2$

(2) $(x^2-x+13)(x^2-x-8)$

(3) $(a+2)^2(a-2)^2$

(4) $(x+3)^3-(x-3)(x^2+3x+9)$

2. 解き方の手順

(1) $(x+2y-z)^2$ の展開

$(x+2y-z)^2 = (x+2y-z)(x+2y-z)$

$= x(x+2y-z) + 2y(x+2y-z) - z(x+2y-z)$

$= x^2 + 2xy - xz + 2xy + 4y^2 - 2yz - xz - 2yz + z^2$

$= x^2 + 4y^2 + z^2 + 4xy - 2xz - 4yz$

(2) $(x^2-x+13)(x^2-x-8)$ の展開

$A = x^2 - x$ と置くと、与式は

$(A+13)(A-8) = A^2 + 5A - 104$

ここで、$A = x^2 - x$ を代入する。

$(x^2-x)^2 + 5(x^2-x) - 104$

$= x^4 - 2x^3 + x^2 + 5x^2 - 5x - 104$

$= x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 5x - 104$

(3) $(a+2)^2(a-2)^2$ の展開

$(a+2)^2(a-2)^2 = [(a+2)(a-2)]^2 = (a^2 - 4)^2$

$= a^4 - 8a^2 + 16$

(4) $(x+3)^3-(x-3)(x^2+3x+9)$ の展開

$(x+3)^3 = x^3 + 9x^2 + 27x + 27$

$(x-3)(x^2+3x+9) = x^3 - 3^3 = x^3 - 27$

したがって、

$(x+3)^3 - (x-3)(x^2+3x+9) = (x^3 + 9x^2 + 27x + 27) - (x^3 - 27)$

$= x^3 + 9x^2 + 27x + 27 - x^3 + 27$

$= 9x^2 + 27x + 54$

3. 最終的な答え

(1) $x^2 + 4y^2 + z^2 + 4xy - 2xz - 4yz$

(2) $x^4 - 2x^3 + 6x^2 - 5x - 104$

(3) $a^4 - 8a^2 + 16$

(4) $9x^2 + 27x + 54$