与えられた式 $54x^3 - 16$ を因数分解する問題です。

代数学因数分解多項式共通因数
2025/5/19

1. 問題の内容

与えられた式 54x31654x^3 - 16 を因数分解する問題です。

2. 解き方の手順

まず、共通因数をくくり出すことから始めます。
54x354x^31616 の最大公約数は 22 なので、22 をくくり出します。
54x316=2(27x38)54x^3 - 16 = 2(27x^3 - 8)
次に、27x3827x^3 - 8 を因数分解します。これは、a3b3=(ab)(a2+ab+b2)a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2) の公式を利用できる形になっています。
27x3=(3x)327x^3 = (3x)^3 であり、8=238 = 2^3 なので、a=3xa = 3x, b=2b = 2 と考えられます。
27x38=(3x)323=(3x2)((3x)2+(3x)(2)+22)=(3x2)(9x2+6x+4)27x^3 - 8 = (3x)^3 - 2^3 = (3x - 2)((3x)^2 + (3x)(2) + 2^2) = (3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)
したがって、元の式は以下のようになります。
54x316=2(3x2)(9x2+6x+4)54x^3 - 16 = 2(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)

3. 最終的な答え

2(3x2)(9x2+6x+4)2(3x - 2)(9x^2 + 6x + 4)

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