複数の数学の問題が与えられています。ここでは、問題9(1)と(2)を解きます。問題9は、点Oが三角形ABCの外心、点Iが三角形ABCの内心であるとき、角$\alpha$と$\beta$を求める問題です。

1. 問題の内容

複数の数学の問題が与えられています。ここでは、問題9(1)と(2)を解きます。問題9は、点Oが三角形ABCの外心、点Iが三角形ABCの内心であるとき、角$\alpha$と$\beta$を求める問題です。

2. 解き方の手順

問題9(1):

三角形ABCにおいて、点Oは外心なので、OA = OB = OCです。

よって、三角形OABは二等辺三角形であり、$\angle OAB = \angle OBA = 25^\circ$。

同様に、三角形OACは二等辺三角形であり、$\angle OAC = \angle OCA = 15^\circ$。

したがって、$\angle BAC = \angle OAB + \angle OAC = 25^\circ + 15^\circ = 40^\circ$。

三角形OBCも二等辺三角形なので、$\angle OBC = \angle OCB = \alpha$。

$\angle BOC = 2\angle BAC = 2 \times 40^\circ = 80^\circ$。

三角形OBCの内角の和は180度なので、$\alpha + \alpha + 80^\circ = 180^\circ$。

$2\alpha = 100^\circ$。

$\alpha = 50^\circ$。

三角形ABCにおいて、$\angle ABC = 25^\circ + \alpha = 25^\circ + 50^\circ = 75^\circ$。

$\angle ACB = 15^\circ + \alpha = 15^\circ + 50^\circ = 65^\circ$。

$\beta$は三角形ABCの外接円の中心角に対する円周角なので、$\beta = \angle BOC/2=80^\circ/2=40^\circ$、または、$\beta = (180^\circ - 25^\circ - 15^\circ)/2 = 70^\circ$。

計算が合わないので、別の方法を試します。

$\angle BOC = 2 \times \angle BAC = 2 \times (25^\circ + 15^\circ) = 80^\circ$なので、$\alpha = (180^\circ - 80^\circ)/2 = 50^\circ$。

三角形ABCの内角の和は180度なので、$\angle ABC = 180^\circ - 40^\circ - 65^\circ=75^\circ$。外心Oについて$\angle BOC=2\angle BAC=80^\circ$, $\angle AOC=2\angle ABC=150^\circ$, $\angle AOB=2\angle ACB=130^\circ$

$\beta = (180 - 25 - 15)/2 = 70$

問題9(2):

点Iは三角形ABCの内心なので、BIは$\angle ABC$の二等分線、CIは$\angle ACB$の二等分線です。

$\angle IBC = \beta$, $\angle ICB = 24^\circ$。

$\angle BIC = 180^\circ - \beta - 24^\circ$。

$\angle BAC = 180^\circ - 62^\circ - 24^\circ=94^\circ$。

$\beta = (180^\circ - \angle BAC)/2 = (180^\circ - 62^\circ - 24^\circ) = 62^\circ + 24^\circ/2= (62+24)/2= 43^\circ$.

$\angle ABC/2 = 62/2 = 31^\circ = \beta$。

$\angle BAC = 180^\circ - (2 \times \beta + 2 \times 24^\circ) = 180^\circ - (2\beta + 48^\circ)$。

三角形の内角の和は180°なので $\angle BAC=180^\circ - 62 - 24=94$.

$alpha = (62+24)/2=43$

3. 最終的な答え

問題9(1): $\alpha = 50^\circ$, $\beta = 70^\circ$

問題9(2): $\alpha = 43^\circ$, $\beta = 31^\circ$